一元一次方程应用题：找等量关系的5类题型
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一元一次方程应用题的关键是找等量关系：先用一句话说出「谁等于谁」，再把两边分别用未知数表示，方程就列出来了。行程题看路程，工程题看工作量，利润题看「售价 − 进价 = 利润」，配套题看配套比例，数字题看各数位上的数字怎样组成这个数。下面五类题各给一个等量关系模板和一道例题。
五类题的等量关系速查
| 题型 | 等量关系模板 | 常设的未知数 |
|---|---|---|
| 行程（追及） | 快者路程 = 慢者路程（从同一点出发） | 追上所用时间 |
| 工程 | 各部分工作量之和 = 1 | 合做的天数 |
| 利润 | 售价 − 进价 = 利润 | 进价 |
| 配套 | 甲件数 × 配套比 = 乙件数 | 做甲件的人数 |
| 数字 | 两位数 = 10 × 十位数字 + 个位数字 | 个位数字 |
表里的等量关系要用题目里的话去套，而不是背下来直接写。列出方程后先检查两边单位是否一致：一边是千米、一边是小时，说明关系找错了。
行程题与工程题
例 1 行程（追及）。 小明以每小时 5 千米的速度步行出发，1 小时后小亮骑车以每小时 15 千米的速度沿同一路线去追，小亮几小时追上？
线段图画两条：上面是小明走的路（先走的 1 小时一段 + 后面 x 小时一段），下面是小亮 x 小时走的路，两条线段终点对齐，表示追上时路程相等。设小亮骑了 x 小时，列方程 15x = 5(x + 1)，得 10x = 5，x = 0.5。验算：小亮骑 7.5 千米，小明走了 1.5 小时也是 7.5 千米。
例 2 工程。 一项工程甲单独做 12 天完成，乙单独做 24 天完成。甲先做 3 天，剩下的两人合做，还要几天？
把全部工作量看成 1，甲每天做 1/12，乙每天做 1/24。线段图是一条长为 1 的线段，前面一段是甲先做的 3/12，后面一段是两人合做的部分，两段合起来是整条。设合做 x 天：
\frac{3}{12}+x\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{24}\right)=1
括号里是 1/8，方程化成 1/4 + x/8 = 1，解得 x = 6。验算：1/4 + 6 × 1/8 = 1/4 + 3/4 = 1。
利润题、配套题与数字题
例 3 利润。 某商品按进价提高 40% 标价，再按标价的 80% 售出，利润是 24。求进价（金额单位：元）。设进价为 x，标价是 1.4x，售价是 0.8 × 1.4x = 1.12x，列方程 1.12x − x = 24，得 x = 200。验算：售价 224，减去进价 200 正好是 24。线段图上把进价画成一整段，售价比它多出的那一小截标「利润 24」。
例 4 配套。 车间有 28 名工人，每人每天能做螺栓 12 个或螺母 18 个，一个螺栓配两个螺母。怎样分配人数，才能使每天做出的螺栓与螺母正好配套？设 x 人做螺栓，螺母就是 (28 − x) 人做。螺母数是螺栓数的 2 倍，所以 2 × 12x = 18(28 − x)，得 42x = 504，x = 12。验算：螺栓 144 个，螺母 16 × 18 = 288 个，恰好 2 倍。
例 5 数字。 一个两位数，十位数字比个位数字大 3，把两个数字对调，得到的新数与原数之和是 121，求原数。设个位数字为 x，原数是 10(x + 3) + x，新数是 10x + (x + 3)，相加得 22x + 33 = 121，x = 4，原数是 74。验算：74 + 47 = 121。
五道例题整理成作业时，每题写「设、列、解、验、答」五行。在编辑器里录分式可以按 / 插入分式，写完分子按 Tab 跳到待填的分母。
五类题里配套题最容易把比例写反：螺母多、螺栓少，要给少的那一边乘 2，列完先拿例 4 的 144 与 288 对一下方向。
延伸阅读
常见问题
- 设未知数设哪个更好列方程？
- 一般设题目最后问的那个量，答案直接就是方程的解。如果问的量不好表示别的量，就改设能把其余量都表示出来的那个，比如配套题设做螺栓的人数，做螺母的人数就是总人数减它。设完先用这个字母把题里每个量写一遍，写不出来的就说明设得不顺手。