初中数学公式大全：代数、几何、函数分类速查
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初中数学公式大全可以按四块来记：代数管式子和方程，几何管角、边和面积，函数管一次、反比例和二次函数，统计管平均数、方差和概率。下面四张表加一条行间公式共收 33 条，写法与人教版教材一致，每张表多出一列「由谁推出」：写着来源的公式可以从前一条推回来，写着「母公式」的是推导起点，其余理解推导后也能自己写出来。最后用一道二次函数综合题把四块串起来，所有数都能用笔验算。
这样排的好处是减负：几何那张表 11 条里只有 4 条是母公式，其余 7 条都能从它们或更基础的面积公式推出来。字母含义按课本约定，a、b、c 常指系数或边长，r 是半径，n 是个数、边数或圆心角度数。
代数：式的运算与方程
| 公式 | 写法 | 由谁推出 |
|---|---|---|
| 同底数幂相乘 | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 母公式（幂的意义） |
| 幂的乘方 | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | 同底数幂相乘连用 n 次 |
| 积的乘方 | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | 乘法交换律、结合律 |
| 平方差公式 | (a + b)(a − b) = a² − b² | 多项式乘法展开 |
| 完全平方公式 | (a ± b)² = a² ± 2ab + b² | 同上，中间项不要漏 |
| 二次根式乘法 | √a · √b = √(ab) | 母公式；a ≥ 0，b ≥ 0 |
| 判别式 | Δ = b² − 4ac | 对一般式配方时出现 |
| 求根公式 | x = (−b ± √Δ) ÷ (2a) | 对一般式配方，Δ ≥ 0 |
| 根与系数的关系 | x₁ + x₂ = −b/a，x₁x₂ = c/a | 把两个根相加、相乘 |
例题： 用平方差公式算 102 × 98。看成 (100 + 2)(100 − 2) = 100² − 2² = 10000 − 4 = 9996，用竖式乘一遍结果相同。求根公式的四步用法与判别式三种情况，单独写在一元二次方程那篇里，这里只列它在代数块里的位置。
四块的核心公式压在一页里是下面这样，复习时先看这一页，再回到各自的表：
几何：三角形、多边形与圆
| 公式 | 写法 | 由谁推出 |
|---|---|---|
| 三角形内角和 | ∠A + ∠B + ∠C = 180° | 母公式 |
| 多边形内角和 | (n − 2) × 180° | 从一个顶点连对角线，分成 n − 2 个三角形 |
| 勾股定理 | a² + b² = c² | 母公式（c 为斜边） |
| 平行四边形面积 | S = ah | 割补成长方形 |
| 三角形面积 | S = ah ÷ 2 | 平行四边形的一半 |
| 梯形面积 | S = (a + b)h ÷ 2 | 沿对角线拆成两个三角形 |
| 圆的周长与面积 | C = 2πr，S = πr² | 母公式 |
| 弧长 | l = nπr ÷ 180 | 周长 × n/360 |
| 扇形面积 | S = nπr² ÷ 360 = lr ÷ 2 | 圆面积 × n/360 |
| 锐角三角函数 | sin A = a/c，cos A = b/c，tan A = a/b | 母公式（∠C = 90°） |
| 相似三角形 | 面积比 = 相似比² | 三角形面积公式 |
例题： 半径 6、圆心角 60° 的扇形，弧长 l = 60 × π × 6 ÷ 180 = 2π；面积用第一种写法是 60 × π × 36 ÷ 360 = 6π，用第二种写法是 2π × 6 ÷ 2 = 6π，两种算法一致。正六边形内角和为 (6 − 2) × 180° = 720°，每个内角 120°。
函数：一次、反比例与二次函数
| 公式 | 写法 | 由谁推出 |
|---|---|---|
| 正比例函数 | y = kx | 一次函数 b = 0 的特例，k ≠ 0 |
| 一次函数 | y = kx + b | 母公式；k > 0 时 y 随 x 增大而增大 |
| 反比例函数 | y = k/x | 母公式；k ≠ 0，图像是双曲线 |
| 二次函数一般式 | y = ax² + bx + c | 母公式；a ≠ 0，a > 0 开口向上 |
| 二次函数顶点式 | y = a(x − h)² + k | 一般式配方，顶点 (h, k) |
| 对称轴 | x = −b/(2a) | 顶点横坐标 |
二次函数一般式的顶点坐标：
\left(-\frac{b}{2a},\ \frac{4ac-b^2}{4a}\right)
例题： 一次函数图像经过 (1, 3) 和 (3, 7)，用待定系数法：k = (7 − 3) ÷ (3 − 1) = 2，再由 3 = 2 × 1 + b 得 b = 1，所以 y = 2x + 1。
统计与概率
| 公式 | 写法 | 说明 |
|---|---|---|
| 平均数 | x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n | 母公式 |
| 加权平均数 | (x₁w₁ + … + xₙwₙ) ÷ (w₁ + … + wₙ) | 权都相等时就是平均数 |
| 中位数 | 排序后居中的数 | 个数为偶数时取中间两数的平均数 |
| 众数 | 出现次数最多的数 | 可以不止一个 |
| 方差 | 见下方行间公式 | 越大说明数据越分散 |
| 概率 | P(A) = m/n | 各结果出现的可能性相等时 |
s^2=\frac{1}{n}\left[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2\right]
例题： 数据 5、7、8、8、12 的平均数是 40 ÷ 5 = 8，中位数 8，众数 8，方差为 (9 + 1 + 0 + 0 + 16) ÷ 5 = 5.2。三个「8」相同而方差不为 0，说明方差衡量的是离散程度，不是中心位置。
一道题串起四块，再看四个易错点
抛物线 y = x² − 4x + 3 与 x 轴交于 A、B 两点，顶点为 C，求 △ABC 的形状和面积。
代数： 令 y = 0，x² − 4x + 3 = 0，Δ = 16 − 12 = 4，两根 1 和 3，所以 A(1, 0)、B(3, 0)。根与系数核对：1 + 3 = 4 = −b/a，1 × 3 = 3 = c/a。
函数： 顶点横坐标 −b/(2a) = 2，纵坐标 (4 × 1 × 3 − 16) ÷ 4 = −1，C(2, −1)。配方验证：x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1。
几何： AB = 2，C 到 x 轴的距离是 1，面积 = 2 × 1 ÷ 2 = 1。再用勾股定理算 AC² = 1² + 1² = 2，BC² = 2，而 AC² + BC² = 4 = AB²，所以 △ABC 是等腰直角三角形。
| 易错点 | 错误写法 | 正确写法 |
|---|---|---|
| 完全平方漏中间项 | (a + b)² = a² + b² | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
| 对称轴符号 | x = b/(2a) | x = −b/(2a) |
| 扇形面积 | 忘记除以 360 | nπr² ÷ 360 |
| 方差分母 | 除以 n − 1 | 初中课本除以 n |
复习时可以在本站做一件具体的事：把上面这道综合题的三段解答，照原样录进公式编辑器，每段一行，再切到文档编辑，和四张表里自己最容易忘的几条排进一页，当作考前的错题卡。编辑器左栏公式模板里有初中数学分类，插入后改数字即可；公式编辑与预览在浏览器里打开即用、免费且不用登录，要导出 Word 或打印时，需要登录并开通本品牌会员。
延伸阅读
常见问题
- 初中公式要背多少？
- 本文四张表加一条行间公式共 33 条，大致就是初中阶段要熟记的范围。表里「由谁推出」一列写着来源的，理解推导后能自己写出来，比如梯形面积、扇形面积、多边形内角和；真正要一字不差背下来的约 20 条，比如乘法公式、求根公式、勾股定理、二次函数顶点坐标和方差。
- 哪些公式考试常用？
- 中考出现频率较高的有：完全平方公式与平方差公式、一元二次方程的判别式与求根公式、勾股定理、特殊角的三角函数值、二次函数的顶点坐标与对称轴、弧长与扇形面积公式，以及平均数、中位数和方差。这些公式常在同一道综合题里连着用，复习时建议成组记忆。