二元一次方程组解法：代入消元与加减消元对照
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二元一次方程组解法的核心是「消元」：想办法消掉一个未知数，把方程组变成一元一次方程。代入消元法先把一个方程写成「x = …」或「y = …」，再代进另一个方程；加减消元法把两个方程相加或相减，让某个未知数的系数抵消。同一个方程组两种方法都能解，结果相同，选哪种看系数：有系数是 1 或 −1 用代入，同一未知数系数相等或互为相反数用加减。
同一方程组，两种方法
两种方法的共同目标，是得到一个只含一个未知数的方程。代入法靠「用一个未知数表示另一个」，加减法靠「让某个未知数的系数抵消」，两者只是消元的手段不同，列出的一元一次方程往往是同一个。解出一个未知数后，都要代回某个原方程求出另一个，最后写成大括号形式的一组解，并把这组解代回两个原方程各验一次。
例 1 解方程组：2x + 3y = 12，x − y = 1。
代入消元：第二个方程里 x 的系数是 1，移项得 x = y + 1。代入第一个方程：2(y + 1) + 3y = 12，5y = 10，y = 2；再代回得 x = 3。
加减消元：把第二个方程两边乘 3，得 3x − 3y = 3，与第一个方程相加，y 的系数 3 与 −3 抵消：5x = 15，x = 3；代回得 y = 2。
两条路得到同一组解 x = 3，y = 2。验算：2 × 3 + 3 × 2 = 12，3 − 2 = 1，两个方程都成立。
两种方法的步骤并排放在一起，差别只在第一步怎么消掉一个未知数：
三道例题：看系数选方法
例 1 就是上面那组。x − y = 1 里 x 的系数是 1，代入最省事，只移一次项。
例 2 解方程组：3x + 2y = 7，5x − 2y = 1。y 的系数 2 与 −2 互为相反数，两式直接相加：8x = 8，x = 1；代入第一个方程得 2y = 4，y = 2。验算：5 × 1 − 2 × 2 = 1。这组如果用代入，得先写出 y = (7 − 3x)/2，带分数运算，反而更慢。
例 3 解方程组：4x + 3y = 5，3x − 2y = 8。没有系数是 1，也没有现成相等的系数。把 y 的系数凑成 6：第一个方程乘 2 得 8x + 6y = 10，第二个方程乘 3 得 9x − 6y = 24，相加得 17x = 34，x = 2；代回得 3y = 5 − 8 = −3，y = −1。验算：3 × 2 − 2 × (−1) = 8。
移项不变号：错对对照
代入消元最常见的错，出在第一步移项。例 1 里把 x − y = 1 写成 x = 1 − y，−y 移到右边时没变号。代入后 2(1 − y) + 3y = 12，得 y = 10，x = −9。
错误能用验算抓出来：把 x = −9、y = 10 代回第二个方程，−9 − 10 = −19，不等于 1。所以每解完一组，都要把结果代回两个方程各验一次，只验被代入的 2x + 3y = 12 查不出这类错（−18 + 30 = 12 照样成立）。
加减消元对应的错，是减第二个方程时括号里的项没全部变号，这类错同样靠代回两个方程验算来发现。例如用 (3x + 2y) − (5x − 2y) 时，后一个括号里的 −2y 减去后要变成 +2y，结果应为 −2x + 4y，漏变号就只剩 −2x。
在编辑器里写方程组
方程组的大括号用 cases 环境，每行一个方程，行尾用 \\ 换行：
\begin{cases}4x+3y=5\\3x-2y=8\end{cases}
三道题的解法其实是系数定的：有系数为 1 就代入，有互为相反数的系数就直接相加，两样都没有才先乘数把系数凑齐。拿到方程组先看这一眼，再决定走哪条路。
延伸阅读
常见问题
- 什么时候用加减消元更快？
- 看同一个未知数在两个方程里的系数。系数相等就两式相减，互为相反数就两式相加，一步就消掉一个未知数。系数成倍数关系时，把其中一个方程乘一个数再加减也很快。如果某个方程里有未知数的系数是 1 或负 1，改用代入消元通常步骤更少。