分式方程增根：检验步骤与含参数的题型

分式方程增根，是去分母后得到的整式方程的根中，使最简公分母等于 0 的那个根：它满足整式方程，代回原方程却会让分母为 0，所以必须舍去。解分式方程因此固定 3 步：两边同乘最简公分母去分母、解整式方程、把解代入最简公分母检验。含参数的题都围着第 3 步出，常见两类：「方程有增根，求 k」和「方程无解，求 k」。

三步解法与检验的写法

三步里第 1 步决定对错，第 3 步决定得分。增根的来源在第 1 步。两边同乘的最简公分母里含有未知数，当它等于 0 时，相当于两边都乘了 0，方程的解集可能被扩大。检验只看最简公分母，不必把解代回整个原方程：公分母不为 0，就是原方程的解；等于 0，就是增根。

例 1 解方程 (1 − x)/(x − 2) = 1/(2 − x) − 2。

1. 去分母：注意 2 − x = −(x − 2)，最简公分母是 x − 2。两边同乘 x − 2，得 1 − x = −1 − 2(x − 2)。
2. 解整式方程：1 − x = 3 − 2x，x = 2。
3. 检验：x = 2 时 x − 2 = 0，所以 x = 2 是增根，原方程无解。

这道题的第 1 步还藏着一个细节：两个分母 x − 2 和 2 − x 只差一个负号，最简公分母取其中一个即可，另一个分式要先把负号提到分数线前面。漏掉这个负号，整式方程就会变成 1 − x = 1 − 2(x − 2)，解出 x = 4，原方程被解错却查不出增根。

漏检验：错对对照

例 1 最常见的错误答案是「x = 2」。学生第 2 步算对了，却在第 3 步停笔，把整式方程的根直接当成分式方程的根。另一种隐蔽的错，是检验时只代入了分子，或者只查了一个分母。

讲评时可以让学生把 x = 2 代回原方程左边，分母当场变成 0，比讲「解集扩大」更直观。检验这一行要写成完整的句子：「检验：当 x = 2 时，x − 2 = 0，所以 x = 2 是增根，原方程无解。」

含参数题一：有增根，求 k

例 2 关于 x 的方程 x/(x − 3) − 2 = k/(x − 3) 有增根，求 k。

思路是反着用第 3 步：增根只能是让公分母为 0 的值，即 x = 3。先去分母得 x − 2(x − 3) = k，整理为 x = 6 − k。把增根 x = 3 代入整式方程，6 − k = 3，所以 k = 3。验算：k = 3 时整式方程的解正是 x = 3，确实是增根。

含参数题二：无解，求 k

例 3 关于 x 的方程 2/(x − 2) + kx/(x² − 4) = 3/(x + 2) 无解，求 k。

最简公分母是 (x + 2)(x − 2)。去分母得 2(x + 2) + kx = 3(x − 2)，整理为 (k − 1)x = −10。无解分两种情况：

• 整式方程本身无解：k − 1 = 0，即 k = 1，此时式子变成 0 = −10；
• 整式方程的解是增根：x = 2 时 2(k − 1) = −10，k = −4；x = −2 时 −2(k − 1) = −10，k = 6。

所以 k = 1、−4 或 6。只写后两个、漏掉 k = 1，是这类题最常见的失分。

备课时把方程排进编辑器

分式可以用本站编辑器底部符号面板「常用」页签里的分式模板：插入后按 Tab 依次跳到下一个待填的空格子（分子 → 分母），已填内容的格子会被跳过；没有空格子时 Tab 先退出当前这一层，在最外层才离开编辑区。也可以直接写 \frac，例 3 的方程是：

\frac{2}{x-2}+\frac{kx}{x^{2}-4}=\frac{3}{x+2}

例 2 和例 3 放在同一页讲，对比最明显：前者只有「解是增根」一种情况，后者多了「整式方程无解」。出练习卷时，可以只改例 3 里分子的数字，让学生重新判断两种情况各给出几个 k。

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