树状图求概率：两步与三步试验怎么画
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用树状图求概率分四步：按试验的先后分层，第一步的每种结果画一个分支，第二步在每个分支下再画出所有结果，数出末端的路径总数 n 和符合要求的路径数 m，概率就是 m/n。两步试验用列表法和树状图都可以，结果少时列表更直观；三步及以上的试验列表画不下，用树状图。前提是每条路径出现的可能性相等。
两种方法怎么选
| 试验 | 推荐方法 | 原因 |
|---|---|---|
| 两步，每步结果不多 | 列表法 | 行是第一步、列是第二步，一格一个结果 |
| 两步，其中一步结果很多 | 树状图 | 表格太宽，分支更清楚 |
| 三步及以上 | 树状图 | 列表只有两个方向，放不下第三步 |
| 放回 / 不放回 | 都可以 | 不放回时表格对角线要划掉 |
画树状图有三个习惯：每一层写在同一条竖线上，层名写在最上面（第一次、第二次、第三次）；同一层每个分支下的结果按同一顺序排；末端路径从上到下编号，最后一列写出这条路径代表的结果。这样数 m 时不容易重复或漏掉。
还要检查「等可能」这个前提。袋里 2 个红球 1 个白球时，要把两个红球编号为红 1、红 2，每个球算一个分支，而不是只画「红」「白」两支，否则红和白看起来各占一半，概率就算错了。
三道例题
例 1（两步，列表法） 甲、乙两人玩石头剪刀布，各随机出一种。列表：行是甲的 3 种，列是乙的 3 种，共 9 格，每格等可能。甲赢的格子是（石头，剪刀）（剪刀，布）（布，石头），共 3 格，P（甲赢）= 3/9 = 1/3；平局在对角线上也是 3 格，P（平局）= 1/3。
如果改成甲、乙、丙三人同时出，就变成三步试验：树状图第一层 3 支，第二层每支下 3 支共 9 支，第三层共 27 条路径。三人都一样的有 3 条，三人各不相同的有 3 × 2 × 1 = 6 条，这两种都算平局，P（平局）= 9/27 = 1/3；甲一个人赢两人，要求乙、丙都出甲能赢的那一种，只有 3 条，P = 3/27 = 1/9。
例 2（三步，树状图） 三道判断题，每道都随机猜「对」或「错」，求至少答对两道的概率。第一层 2 支（第 1 题对 / 错），第二层每支下 2 支，第三层每支下 2 支，末端共 2 × 2 × 2 = 8 条路径。
从上往下数：对对对、对对错、对错对、错对对四条满足「至少两道对」，m = 4，P = 4/8 = 1/2。恰好答对两道是其中去掉「对对对」的 3 条，P = 3/8。
例 3（放回与不放回） 袋中有红球 2 个（记红 1、红 2）、白球 1 个，摸两次，求两次都是红球的概率。
- 摸出后放回：第二层每支下仍是 3 支，共 3 × 3 = 9 条路径，两次都红的有 2 × 2 = 4 条，P = 4/9。
- 摸出后不放回：第二层每支下只剩 2 支，共 3 × 2 = 6 条路径，两次都红的是（红 1，红 2）（红 2，红 1）2 条，P = 2/6 = 1/3。
错对对照
最常见的错是把不放回也画成 9 条路径，第二层照抄第一层，结果得出 4/9。判断方法很简单：读题找「放回」「不放回」「同时摸出两个」，后两种都按不放回画。同时摸出两个时，也可以不分先后，用 3 种组合（红 1 红 2、红 1 白、红 2 白）来数，两个都是红球的 1 种，P = 1/3，与分先后的结果一致。
另一个错是把红球合成一支。画成「红」「白」两支后算出两次都红是 1/4，这是把不等可能的分支当成等可能了。
例 2 的概率式写进作业时，可以复制这一行，把 m、n 换成你自己的数：
P(\text{至少答对两道})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}
三人猜拳还能接着问：连续两轮都是平局的概率是多少？两轮互不影响，答案是 1/3 × 1/3 = 1/9。画成树状图会有 27 × 27 条路径，这时直接用乘法比画图省事。
延伸阅读
常见问题
- 放回和不放回树状图有何不同？
- 区别在第二层每个分支下画几条线。放回时，第二次摸之前球又回到袋里，第二层每个分支下的可能结果和第一层完全一样；不放回时，第一次摸走的那个球不在了，第二层每个分支下少一条线。所以袋里有3个球时，放回画出3乘3等于9条路径，不放回只有3乘2等于6条，同一个事件的概率也跟着不同。