中位数和众数：数据个数奇偶两种取法

求中位数和众数，第一步都是把数据从小到大排好。数据个数 n 是奇数时，中位数是正中间第 (n + 1)/2 个数；n 是偶数时，中位数是中间两个数（第 n/2 个和第 n/2 + 1 个）的平均数。众数是出现次数最多的数，可以有一个、几个，也可以没有。

取法速查

排序这一步最容易省略。原始数据 85、92、78、92、88、70、95 的第 4 个数是 92，但排序后的第 4 个数是 88，两个答案差了 4 分。所以哪怕数据看着很整齐，也要先写出排好序的那一行，再去数位置。

偶数个数据的中位数，教材的记号通常写成排序后第 n/2 个与第 n/2 + 1 个的平均。n = 6 时取第 3、第 4 个，n = 40 时取第 20、第 21 个。数据用频数表给出时，就用累计频数找到这两个位置落在哪一组。

众数不需要排序也能找，但排好序后，相同的数挨在一起，数起来不会漏。所有数都只出现一次时，这组数据没有众数；有两个数并列最多时，两个都是众数，答案要都写上。

三道例题

例 1（奇数个） 某小组 7 人的测验成绩：85、92、78、92、88、70、95。排序：70、78、85、88、92、92、95。n = 7，中位数是第 4 个数 88；92 出现两次，众数是 92；平均数 600 ÷ 7 ≈ 85.7。

例 2（偶数个，中位数不在数据里） 6 户家庭某月用水量（吨）：6、9、4、20、7、10。排序：4、6、7、9、10、20。中位数是第 3、第 4 个数的平均：(7 + 9) ÷ 2 = 8，数据里没有 8。每个数只出现一次，这组数据没有众数。平均数 56 ÷ 6 ≈ 9.3，被 20 这个偏大的数拉高了。

例 3（频数表，两个众数） 某班 40 人一周读书册数统计：0 册 4 人，1 册 12 人，2 册 12 人，3 册 7 人，4 册 5 人。

n = 40，中位数取第 20、第 21 个数。累计人数：0 册到第 4 人，1 册到第 16 人，2 册到第 28 人，所以第 20、第 21 个都是 2，中位数 2 册。1 册和 2 册都是 12 人，众数有两个：1 册和 2 册。平均数 (0 × 4 + 1 × 12 + 2 × 12 + 3 × 7 + 4 × 5) ÷ 40 = 77 ÷ 40 ≈ 1.9 册。

与平均数对照：三道题放在一起看

例 2 最能说明三个量的区别：平均数受极端值影响大，一个 20 吨就把平均数拉到 9.3；中位数只看位置，仍是 8；众数只看次数，这组数据干脆没有。题目问「用哪个量代表一般水平更合适」时，数据里有特别大或特别小的数，一般选中位数。问「哪种尺码进货最多」「哪个选项最受欢迎」这类关心最多数的问题时，看众数更合适。

常见的三个错：

• 没排序就数位置。 例 1 直接数原数据第 4 个，得到 92，错。
• 偶数个只取一个数。 例 2 取了第 3 个 7 或第 4 个 9 当中位数，都不对，要取两者平均。
• 众数只写一个。 例 3 只写 2 册，漏了同样 12 人的 1 册。

偶数个数据的中位数写法，在编辑器里可以直接复制这一行，把下标改成本题的位置：

M=\frac{x_{(20)}+x_{(21)}}{2}=\frac{2+2}{2}=2

统计图表题给的往往是条形图，先把它读成频数表，再按累计人数找中间位置，步骤与例 3 相同。

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