高中概率公式：古典概型、条件概率与期望

高中概率公式按教材顺序分三块：事件的概率（古典概型、加法公式、对立与独立），条件概率与全概率公式，随机变量的分布列、期望与方差。每块真正要记的只有四五条，其余都能从定义推出来。下面每块先给公式，再配一道数值能代回核对的例题。

古典概型与事件关系

古典概型要求两个前提：样本点有限、每个样本点等可能，缺一个都不能直接用 m/n 计算，比如射击命中与否就不是等可能的。满足时 P(A) = A 包含的样本点数 ÷ 样本点总数。做题时先把样本空间写出来或说清怎么数，再数事件包含几个，这一步省掉最容易多数或漏数。

例：掷两枚骰子，点数和为 7 的样本点有 (1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1) 共 6 个，总数 36，概率 6/36 = 1/6。(1,6) 和 (6,1) 要算两个，因为两枚骰子可以区分；如果把「和为 7」错数成 3 种，结果会变成 1/12，正好差一半。

条件概率、乘法公式与全概率公式

条件概率 P(B|A) 读作「A 发生的条件下 B 发生的概率」，它等于 A、B 同时发生的概率除以 A 的概率：

把它变形就得到乘法公式 P(AB) = P(A)·P(B|A)。例：盒子里 5 个红球、3 个白球，不放回地取两次。记 A 为「第一次取到红球」，B 为「第二次取到红球」。P(A) = 5/8，P(AB) = 5/8 × 4/7 = 5/14，所以 P(B|A) = (5/14) ÷ (5/8) = 4/7。直接数也一样：第一次拿走一个红球后剩 4 红 3 白，取红的概率是 4/7。

全概率公式把一个事件按来源拆开再相加。例：甲、乙两台机器分别生产 60% 和 40% 的零件，次品率分别为 2% 和 3%。任取一件是次品的概率为 0.6 × 0.02 + 0.4 × 0.03 = 0.024。

P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})P(B\mid A_{i})

教材拓展部分的贝叶斯公式反过来问「这件次品来自甲的概率」：0.012 ÷ 0.024 = 0.5。

分布列、期望与方差

离散型随机变量 X 的分布列满足每个概率非负、概率之和为 1。期望 E(X) = Σxᵢpᵢ，方差 D(X) = Σ(xᵢ − E(X))²pᵢ，也可以用 D(X) = E(X²) − [E(X)]² 算。线性变换时 E(aX + b) = aE(X) + b，D(aX + b) = a²D(X)，方差里的 b 消失、a 要平方。

三种常考分布的公式放在一张表里：

二项分布的概率公式写成 LaTeX 如下，点代码块下方的「在编辑器中打开」可以载入后改数：

P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\dots,n

例：投篮命中率 0.6，独立投 3 次，X 为命中次数。P(X=0) = 0.064，P(X=1) = 0.288，P(X=2) = 0.432，P(X=3) = 0.216，四个数加起来正好是 1。按定义算 E(X) = 1.8，与 np = 3 × 0.6 一致；E(X²) = 3.96，D(X) = 3.96 − 1.8² = 0.72，与 np(1 − p) 一致。

超几何分布的例子：10 件产品里有 3 件次品，任取 4 件，恰有 1 件次品的概率是 C(3,1)C(7,3) ÷ C(10,4) = 105 ÷ 210 = 0.5，次品数的期望是 4 × 3/10 = 1.2。放回抽取用二项分布，不放回抽取用超几何分布，这是两者最直接的分界。

正态分布只需记住三个区间的概率：落在 μ ± σ 内约 0.6827，μ ± 2σ 内约 0.9545，μ ± 3σ 内约 0.9973。

四处常见差错

1. 互斥当成独立。 互斥是不能同时发生，P(AB) = 0；独立是互不影响，P(AB) = P(A)P(B)。两个概率都大于 0 的事件，互斥就一定不独立。
2. 条件概率分母用错。 P(B|A) 的分母是 P(A)，不是 P(B)，也不是样本点总数。
3. 方差线性变换忘了平方。 D(2X + 1) = 4D(X)，不是 2D(X) + 1。
4. 不放回抽取套二项分布。 每次抽取的概率在变，应改用超几何分布或乘法公式逐步算。

编辑器里组合数写 \binom{n}{k}，条件竖线写 \mid，对立事件写 \bar{A}；公式编辑与预览免费、不用登录。

想把本文的例题整理进错题本，可以先把投篮那道题的分布列逐项录进编辑器，再补一行期望和方差的验算。

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