相似三角形模型：A字、8字、一线三等角
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中考常见的相似三角形模型有四个：A 字型（平行线截三角形）、8 字型（两条平行线夹着一对对顶角）、母子型（共一个角、一边重合的大小三角形）和一线三等角（一条直线上三个相等的角）。它们的判定依据都是「两角分别相等」：A 字型用同位角加公共角，8 字型用内错角加对顶角，母子型用公共角加一组等角，一线三等角用三角形内角和推出第二组等角。下面先给一张速查表，再每个模型配 1 道例题。
四个模型速查
| 模型 | 图形特征 | 判定依据 | 常用结论 |
|---|---|---|---|
| A 字型 | DE ∥ BC，D、E 在 AB、AC 上 | 公共角 ∠A + 同位角 | AD/AB = AE/AC = DE/BC |
| 8 字型 | AB ∥ CD，AC、BD 交于 O | 对顶角 + 内错角 | AO/CO = BO/DO = AB/CD |
| 母子型 | ∠ACB = 90°，CD ⊥ AB 于 D | 公共角 + 直角 | CD² = AD · DB |
| 一线三等角 | B、C、E 共线，∠B = ∠ACD = ∠E | 等角 + 内角和 | AB/CE = BC/ED |
A 字型去掉平行、只保留「∠ADE = ∠C」这类条件时，就变成反 A 字型，依据仍是公共角加一组等角，只是对应顶点要换位。写相似式时字母必须按对应顶点的顺序，比例式照着字母顺序抄。
例题：每个模型一道
A 字型。 △ABC 中 DE ∥ BC，AD = 4，DB = 6，DE = 5，求 BC。因为 DE ∥ BC，△ADE ∽ △ABC，AD/AB = DE/BC，AB = 4 + 6 = 10，于是 4/10 = 5/BC，BC = 12.5。比例式里用的是整条 AB，而不是 DB。
8 字型。 AB ∥ CD，AC 与 BD 交于点 O，AB = 6，CD = 9，AO = 4，求 OC。∠AOB = ∠COD（对顶角），∠A = ∠C（内错角），所以 △AOB ∽ △COD，AO/CO = AB/CD = 6/9，OC = 4 × 9 ÷ 6 = 6。若题目不给平行、只给 ∠A = ∠D，就是反 8 字型：依据换成对顶角加这组等角，相似式要写成 △AOB ∽ △DOC，比例式随之变成 AO/DO = BO/CO。
母子型。 Rt△ABC 中 ∠ACB = 90°，CD ⊥ AB 于 D，AD = 4，DB = 9，求 CD。图里有三个直角三角形，△ACD ∽ △CBD（∠A 与 ∠BCD 都与 ∠ACD 互余），所以 AD/CD = CD/DB，CD² = 4 × 9 = 36，CD = 6。同理 AC² = AD · AB = 4 × 13 = 52；再求 BC² = 9 × 13 = 117，52 + 117 = 169 = 13²，正好满足勾股定理。
一线三等角。 点 B、C、E 在同一直线上，∠B = ∠ACD = ∠E = 90°，AB = 3，BC = 4，CE = 6，求 ED。∠ACB + ∠DCE = 90°，∠ACB + ∠A = 90°，所以 ∠A = ∠DCE，△ABC ∽ △CED，AB/CE = BC/ED，3/6 = 4/ED，ED = 8。
两处常见错
- 对应顶点写乱。 母子型里 △ACD ∽ △CBD 写成 △ACD ∽ △BCD，比例式就成了 AD/BD = CD/CD，明显不成立。先标出每个三角形的直角顶点，直角对直角，再配另外两个。
- 一线三等角只写了两个角。 只知道 ∠B = ∠E 不够，要用中间那个角 ∠ACD 与内角和推出 ∠A = ∠DCE，推理才完整。三个角不是直角时（比如都是 60°），这一步写成「∠ACB + ∠DCE = 180° − 60°」，思路一样。
母子型的三组结论可以在编辑器里连写成一行，∽ 用 \backsim 输入，按空格结束命令：
\triangle ACD\backsim\triangle CBD\Rightarrow CD^2=AD\cdot DB=4\times 9=36
复习时，可以把这几个模型的图各画一份不带数字的空图，让学生先说出相等的两组角，再写相似式。
延伸阅读
常见问题
- 一线三等角模型怎么识别？
- 找一条直线上的三个角：直线上有一个点，从它引出两条线段，这两条线段所夹的角与两侧三角形在直线上的底角都相等，常见的是三个直角或三个 60 度角。识别出来以后，两侧的两个三角形就相似，对应关系是左边三角形的直线外顶点对右边三角形在直线上那个公共顶点。题目给出矩形折叠、正方形里放直角三角板时，多半就是这个模型。