相似三角形判定：两角、两边夹角、三边3种方法

相似三角形判定有 3 种方法：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。此外还有一个常用的基本事实：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。国内课本把相似写作 △ABC ∽ △DEF，∽ 读作「相似于」，两边的字母要按对应顶点的顺序写。

三种判定与平行线情形

第二种最容易用错：相等的必须是两组比例边的夹角，换成别的角就不成立，这一点和全等里「边边角」不能判定是同一个道理。第三种要把三条边分别从短到长排好再求比，三个比全相等才行。

例 1：平行线截得相似

△ABC 中，点 D 在 AB 上、点 E 在 AC 上，DE ∥ BC，AD = 3，DB = 2，BC = 10，求 DE。

因为 DE ∥ BC，所以 △ADE ∽ △ABC，A 对 A、D 对 B、E 对 C。于是 AD/AB = DE/BC，AB = 3 + 2 = 5，得 3/5 = DE/10，DE = 6。注意比例式里用的是整条边 AB = 5，而不是 DB = 2。

例 2：两边成比例且夹角相等

△ABC 中 AB = 6，AC = 8，BC = 7。点 D 在 AC 上，AD = 3；点 E 在 AB 上，AE = 4。求 DE。

这时 DE 和 BC 不平行，要找成比例的两组边：AD/AB = 3/6 = 1/2，AE/AC = 4/8 = 1/2，夹角都是公共角 ∠A，所以 △ADE ∽ △ABC，A 对 A、D 对 B、E 对 C。相似比是 1/2，DE = 7 × 1/2 = 3.5。

对应顺序写错的后果：如果照着例 1 的样子写成 △ADE ∽ △ACB，就等于说 AD/AC = AE/AB，而 3/8 与 4/6 并不相等，整个推理都不成立。比例式要照着相似式的字母顺序抄：

\triangle ADE\backsim\triangle ABC\Rightarrow\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}

例 3：三边成比例

△ABC 三边 AB = 4，BC = 6，CA = 8；△DEF 三边 DE = 6，EF = 9，FD = 12。两组边都已从短到长排好，6/4 = 9/6 = 12/8 = 3/2，三个比相等，所以 △ABC ∽ △DEF，相似比 2 : 3。由对应边还能读出对应角：AB 与 DE 对应，它们所对的角 ∠C 与 ∠F 相等。

在编辑器里输入 ∽

课本写的 ∽ 在本站编辑器底部符号面板的「关系」页签第一组里，点一下插入的是 \backsim；也可以直接输入 \backsim，按空格结束命令。LaTeX 符号大全「几何符号」一类里列的相似是 \sim，排出来是 ∼，那是国外教材的写法，按国内课本答题时用 ∽。

三角形符号 △ 输入 \triangle，比例式用分式模板或 \frac。例 2 这种「反 A 字」图形，讲的时候可以把 △ADE 和 △ABC 分开重画成同一朝向，对应顶点连上虚线，比口头讲对应关系直观得多。

延伸阅读

• 透明公式图片：把排好的比例式做成图片放进深色或浅色课件
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• 全等三角形判定方法：SSS 到 HL 五种判定对照
• 相似三角形模型：A字、8字、一线三等角