平行线的性质与判定：由角推平行与由平行推角

平行线的性质与判定是同一组角关系的两个方向：由角推平行用判定，由平行推角用性质。判定有三条：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。性质也是三条，把前后半句对调即可：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。

三条判定与三条性质对照

两条直线被第三条直线所截，形成的角里有三类成对的角：同位角的位置像字母 F，内错角像 Z，同旁内角像 U（形状可以倒过来或侧过来看）。三类角各对应一条判定、一条性质：

区分只看箭头方向：箭头左边是已知，右边是要证的。证明题每写一步「∴」，括号里的理由都必须和这一步的方向一致，写反了就是用错定理，理由和这一步的推理就对不上了。

实际做题时，先在图上找出「截线」，再看这对角夹着哪两条线，平行的就是这两条直线。三条判定定理之外还有两条常用结论：平行于同一条直线的两条直线互相平行；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

三道推理填空

三道题共用一个图形：四边形 ABCD，连接对角线 AC。图上只标出 ∠B = 68°、∠C = 75°，标「?」的 ∠BAD 与 ∠D 是例 1、例 3 要求的角。

例 1 由平行推角（性质）。 已知 AD ∥ BC，∠B = 68°，求 ∠BAD。

∵ AD ∥ BC（已知），∴ ∠BAD + ∠B = （）。∴ ∠BAD = ____。

答案：180°；两直线平行，同旁内角互补；112°。这里截线是 AB，∠BAD 与 ∠B 在截线同旁、夹在两条平行线之间。

例 2 由角推平行（判定），先认清截线。 (1) 若 ∠DAC = ∠ACB，则 ____ ∥ ____，理由是 ____。(2) 辨析：有同学由 ∠DAC = ∠ACB 写出「AB ∥ CD」，错在哪里？

答案：(1) AD ∥ BC，内错角相等，两直线平行。(2) 截线 AC 找对了，错在没看这对角夹着哪两条线：∠DAC 的另一边是 AD，∠ACB 的另一边是 CB，能推出平行的只有 AD 与 BC。要得出 AB ∥ CD，需要的是 ∠BAC = ∠ACD 这一对内错角，本题图中并没有这个条件。

例 3 先判定、再用性质。 这次不给 AD ∥ BC，改为已知 ∠A（即 ∠BAD）= 112°，∠B = 68°，∠C = 75°，求 ∠D。

∵ ∠A + ∠B = 180°（已知），∴ AD ∥ BC（同旁内角互补，两直线平行）。∵ AD ∥ BC，∴ ∠C + ∠D = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。所以：

第一步用的是判定，截线是 AB；第二步用的是性质，截线换成了 CD。同一对平行线，换一条截线又能得到一组新的角关系，四边形求角题大多这样两步走完。

在编辑器里写推理过程

平行号 ∥ 输入 \parallel，角 ∠ 输入 \angle，度 ° 写成上标 ^{\circ}；∵ 与 ∴ 分别是 \because、\therefore，都按空格结束命令。例 3 第一步可以这样写：

\because \angle A+\angle B=180^{\circ},\ \therefore AD\parallel BC

课本里的平行号印作 ∥，输入 \parallel 得到的就是这个符号，作业和试卷里照它写。

判定和性质用的是同一组角，区别只在哪一半是已知：先有角、后有平行是判定，先有平行、后有角是性质。写完一步「∴」，把括号里的理由念一遍，已知的那一半应当排在前面。

延伸阅读

• 多边形内角和：四边形内角和 360°，可以用来验算例 3 的四个角
• 相似三角形判定：平行线截出的「A 字形」「X 字形」三角形，以及另外两种判定相似的方法
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