函数的象限：一次、反比例、二次函数各在哪几象限

判断函数的象限，三类函数各看不同的系数：一次函数 y = kx + b 看 k 和 b 的符号，不过原点的直线恰好经过 3 个象限；反比例函数 y = k/x 只看 k，k > 0 在第一、三象限，k < 0 在第二、四象限；二次函数 y = ax² + bx + c 先看 a 定开口，再看 c 和与 x 轴的交点。道理都一样：点在哪个象限，取决于它的横坐标、纵坐标各是正还是负。下面给三类函数的判断表、3 道例题和图像描述。

三类函数判断速查

二次函数要多看一步。以 a > 0 为例：c < 0 时抛物线与 y 轴交在负半轴，两个交点分在原点两侧，四个象限全过；c > 0 且与 x 轴有两个交点时，两个交点同号，都在正半轴就多过第四象限，都在负半轴就多过第三象限；与 x 轴没有交点或只有一个交点时，只过第一、二象限。a < 0 时把上下反过来看。

3 道例题

例 1（反比例） y = −6/x 在哪几个象限？k = −6 < 0，在第二、四象限。验证：x = 2 时 y = −3，点 (2, −3) 在第四象限；x = −3 时 y = 2，点 (−3, 2) 在第二象限。

例 2（二次，c < 0） y = x² − 2x − 3 经过哪几个象限？a = 1 > 0，开口向上；c = −3 < 0。令 y = 0 得 x = −1 或 x = 3，交点分在原点两侧。

图像描述：顶点 (1, −4) 在第四象限；从左上方的第二象限下来，过 (−1, 0) 进入第三象限，过 (0, −3) 进入第四象限，到顶点后回升，过 (3, 0) 进入第一象限。四个象限全过。

y=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)=(x-1)^2-4

例 3（二次，c > 0） y = x² − 4x + 3 经过哪几个象限？a = 1 > 0，c = 3 > 0；令 y = 0 得 x = 1 或 x = 3，两个交点都在正半轴，顶点 (2, −1)。图像从第二象限下来，过 (0, 3) 进入第一象限，在 1 < x < 3 这段落到 x 轴下方的第四象限，再回到第一象限。经过第一、二、四象限，不过第三象限。

三个常见错误

1. 反比例函数写成「经过原点」：y = k/x 里 x 不能取 0，图像与两条坐标轴都没有交点，更不经过原点。
2. 二次函数只看 a 就下结论：「a > 0 所以在一、二象限」只对一部分抛物线成立，例 2 就四个象限全过。要接着看 c 和与 x 轴的交点。
3. 把落在坐标轴上的点算进象限：例 2 的 (−1, 0)、(0, −3) 在坐标轴上，不属于任何象限。说「经过第三象限」依据的是 −1 < x < 0 那一段，而不是交点本身。

例 2 和例 3 开口相同、常数项一负一正：c 从 −3 变成 3，两个交点从分在原点两侧变成都在正半轴，象限就少了一个，拿这两题对照着画，二次函数那一行判断表就记住了。

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