反比例函数k的几何意义：矩形面积等于k的绝对值

反比例函数k的几何意义是：在 y = k/x 的图像上任取一点 P，过 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，两条垂线与两条坐标轴围成的矩形面积等于 |k|；连接 OP，矩形被分成两个直角三角形，每个面积是 |k|/2。这个面积与点 P 取在哪里无关，只由 k 决定。反过来由面积求 k 时，先得到 |k|，再按图像所在象限定正负。

为什么矩形面积恒等于 |k|

设点 P 的坐标为 (x₀, y₀)，它在图像上，所以 y₀ = k/x₀，也就是 x₀ · y₀ = k。过 P 作 PA ⊥ x 轴于 A、PB ⊥ y 轴于 B，矩形 OAPB 的两条边长分别是 |x₀| 和 |y₀|。边长只能是正数，所以要加绝对值；乘积 |x₀| · |y₀| = |x₀y₀| = |k|。点 P 沿着双曲线移动时，横坐标变大纵坐标就变小，乘积保持不变，矩形会变扁或变高，面积始终是 |k|。

三角形 POA（或 POB）是矩形沿对角线 OP 切开的一半，面积为 |k|/2。只要三角形的三个顶点分别是原点、图像上的一点、这个点在某条坐标轴上的垂足，就能直接用这个结论。

面积只告诉你 k 的大小，符号要另外看图像所在的象限，下面的例 2 和最后一节都会用到这一点。把矩形面积的推导写成一行，就是：

三道例题

例 1 由 k 求面积。 点 P(2, 4)、Q(4, 2) 都在 y = 8/x 的图像上。过 P 作两轴垂线得到的矩形面积是 2 × 4 = 8；过 Q 作 QN ⊥ x 轴于 N，△QON 的面积是 ½ × 4 × 2 = 4，正好是 8 的一半。

例 2 由面积求 k，注意符号。 反比例函数的图像在第二、四象限，点 P 在图像上，PA ⊥ x 轴于 A，△POA 的面积为 2.5，求函数解析式。由三角形面积得 |k| = 2 × 2.5 = 5；图像在第二、四象限，k < 0，所以 k = −5，解析式为 y = −5/x。

例 3 两条双曲线之间的三角形。 一条平行于 x 轴的直线分别交 y = 6/x 与 y = 2/x（x > 0）的图像于 A、B 两点，求 △AOB 的面积。设直线为 y = t（t > 0），则 A(6/t, t)、B(2/t, t)，底 AB = 4/t，高为 t：

S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\times\frac{4}{t}\times t=2

面积是 2，与 t 无关。也可以直接用本文的结论：设直线交 y 轴于 C，△AOB 的面积 = △AOC − △BOC = 6/2 − 2/2 = 2。

k 的符号漏判：错对对照

由面积求 k，容易出错的是最后定符号这一步。下面把例 2 的几种写法放在一起：

• 只写 k = 5：没看图像所在象限，第二、四象限的 k 必须是负数。
• 写 k = ±5：题目已经给出象限时只能取一个；只有题目既没给图也没说象限时，才需要两个答案都写。
• 写 |k| = 2.5：把三角形面积当成矩形面积用，少乘了 2。

在编辑器里录这一步，绝对值直接用键盘上的竖线写成 |k|=2\times 2.5=5，分式 k/x 用分式模板或输入 \frac{k}{x}，按空格结束命令。

面积与 t 无关，是因为底 4/t 乘高 t 时 t 正好约掉；双曲线换成 y = k₁/x、y = k₂/x，约掉 t 后剩下 |k₁ − k₂|/2。顶点 O 换成 x 轴上任意一点，底和高不变，面积仍是 2。

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