解三角形应用题：测距离与测高度的画图方法

解三角形应用题的做法可以归成四步：先把实际测量画成示意图，找出一个或几个三角形；把题目给的距离、角度标到图上；按已知条件选定理，已知两角一边或两边一对角用正弦定理，已知两边夹角或三边用余弦定理；最后解出答案并写上单位。测距离和测高度的题，难点都在第一步画图，图画对了，剩下的就是代公式。

四步与定理选择

画图时有三个固定动作。第一，用字母标出所有测量点，观测点、目标点、垂足都要有名字；第二，角度只标在三角形内部，题目给的仰角、方位角要先换算成三角形的内角；第三，把要求的量写成「?」，一眼看出它在哪个三角形里、是哪条边。

测高度题通常有两个三角形：一个斜三角形（两次观测点与塔顶），一个直角三角形（塔顶、塔底与观测点）。先在斜三角形里用正弦定理求出一条斜边，再在直角三角形里用正弦或正切求高。题目给的是两次仰角，斜三角形的顶角就是两个仰角的差。

方位角题的画法类似：先在每个观测点画出正北方向的虚线，再按「北偏东 α」从北方向顺时针量出 α，把航线画上去。几个观测点的北方向互相平行，换算内角时常用到同位角、内错角。整个过程可以概括成下面四步。

三道测量例题

例 1（测不可到达点的距离） 在河岸一侧取 A、B 两点，AB = 100 m，从 A、B 看对岸的点 C，测得 ∠CAB = 75°，∠CBA = 45°，求 A、C 两点的距离。

三角形内角和得 ∠C = 180° − 75° − 45° = 60°。已知两角一边，用正弦定理：AC / sin B = AB / sin C，AC = 100 × sin 45° ÷ sin 60° = 100√6/3 ≈ 81.6 m。

例 2（隔着障碍测两点距离） A、B 被池塘隔开，在岸上取点 C，量得 CA = 50 m，CB = 80 m，∠ACB = 60°，求 AB。已知两边夹角，用余弦定理：AB² = 50² + 80² − 2 × 50 × 80 × cos 60° = 2500 + 6400 − 4000 = 4900，AB = 70 m。

例 3（测高度） 在塔底所在水平面上的 A 点测得塔顶 P 的仰角为 30°，向塔的方向前进 20 m 到 B 点，测得仰角为 45°，求塔高 PH。

在 △ABP 中，∠PBH = 45° 是它的外角，所以 ∠APB = 45° − 30° = 15°，∠A = 30°。由正弦定理，BP = 20 × sin 30° ÷ sin 15° ≈ 38.64 m。再在直角 △PBH 中，PH = BP × sin 45° = 10(√3 + 1) ≈ 27.3 m。用直角三角形也能验算：AH = PH ÷ tan 30° ≈ 47.32 m，BH = PH ≈ 27.32 m，两者相差正好 20 m。

容易丢分的三处

• 仰角当成三角形内角直接用。 例 3 里 45° 是 B 点的仰角，△ABP 在 B 处的内角是 180° − 45° = 135°，顶角 15° 要由外角求出。
• 正弦定理对应关系写错。 边要对它所对的角，例 1 求 AC，要用它的对角 ∠B，而不是 ∠A。
• 最后没写单位和精度。 测量题要写「约 27.3 m」，题目要求保留整数时写 27 m。

例 3 的两步计算写进作业，可以复制这一段再改数：

PH=BP\sin 45^{\circ}=\frac{20\sin 30^{\circ}}{\sin 15^{\circ}}\cdot\sin 45^{\circ}=10(\sqrt{3}+1)\approx 27.3

备课时，例 3 换成「仰角 30° 与 60°、前进 40 m」，塔高是 20√3 ≈ 34.6 m，适合当课堂变式。

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