余弦定理解三角形：已知两边夹角与已知三边

用余弦定理解三角形，先看已知条件属于哪一类：已知两边和它们的夹角（边角边），用 a² = b² + c² − 2bc·cos A 直接求第三边；已知三条边（边边边），用变形 cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) 先求余弦，再确定角。两种写法是同一个定理，差别只在把谁当未知数。下面给两种变形的对照表、各 2 道例题和三角形示意图，每个数都可以代回验算。

两种变形各管哪类题

另外两条写法把 a、A 轮换成 b、B 或 c、C：b² = a² + c² − 2ac·cos B，c² = a² + b² − 2ab·cos C。记法是：等号左边写哪条边的平方，右边就减去另外两边之积的 2 倍再乘它们夹角的余弦。例如 c² = a² + b² − 2ab·cos C 里，c 对着角 C，a、b 夹着角 C；先把边和角的字母对上，后面代数才不会张冠李戴。

求角用的变形，分子是「两条夹边的平方和减去对边的平方」，分母是「两条夹边之积的 2 倍」。两条式子放在一起，方便复制：

a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \qquad \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

已知两边夹角：求第三边

例 1 在 △ABC 中，b = 2，c = 3，A = 60°，求 a。代入得 a² = 4 + 9 − 2 × 2 × 3 × cos 60° = 13 − 6 = 7，所以 a = √7。cos 60° = ½，这一步是把 2bc = 12 再乘 ½ 得到 6。

例 2 在 △ABC 中，a = 2，b = 3，C = 120°，求 c。这次夹角是钝角，cos 120° = −½，减去一个负数等于加上它：c² = 4 + 9 − 2 × 2 × 3 × (−½) = 13 + 6 = 19，所以 c = √19。与例 1 对比，同样是 2 和 3 两条边，夹角从 60° 变成 120°，第三边从 √7 变成 √19：钝角对着的边更长。

已知三边：先求余弦再定角

例 3 三边 a = 7，b = 8，c = 13，求最大的角。大边对大角，最大角是 C。先核对 7 + 8 = 15 > 13，三角形存在。cos C = (49 + 64 − 169)/(2 × 7 × 8) = −56/112 = −½，所以 C = 120°。

例 4 三边 a = 5，b = 7，c = 8，求角 B，并判断三角形的形状。cos B = (25 + 64 − 49)/(2 × 5 × 8) = 40/80 = ½，所以 B = 60°。再看最长边 c 的对角：cos C = (25 + 49 − 64)/(2 × 5 × 7) = 10/70 = 1/7，是正数，C 是锐角。最大的角都是锐角，这是一个锐角三角形。

判断形状时不必把角算出来：最长边对角的余弦，分子为正是锐角三角形，为零是直角三角形，为负是钝角三角形。分母恒为正，只看分子的正负即可。

四处常见差错

1. 中间项写成加号。a² = b² + c² − 2bc·cos A 里是减号；只有夹角为钝角、余弦为负时，算出来才变成相加，例 2 就是这种情形。
2. 用错角。边角边必须是两边的夹角。已知 b、c 和角 B 时属于「两边及其中一边的对角」，要把 a 当未知数，列 b² = a² + c² − 2ac·cos B 解一元二次方程，可能有两个解，要逐个检验。
3. 忘了开方。算到 a² = 7 就停笔，或者把 √19 写成 19。
4. 求角时分子搭错边。角 A 对着的是 a，夹着 A 的是 b 与 c；分子减去的一定是对边的平方。

在编辑器里录这些步骤时，输入 \cos 后按空格结束命令，度数符号写 ^{\circ}，分式用符号面板「常用」页签里的分式模板，写完分子按 ↓ 进分母。

拿作业里另一组三边试一试：先挑出最长边，照截图的样子把它对角的余弦分式录进公式区，分子是正、是零还是负，对应锐角、直角、钝角三角形。

延伸阅读

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