切线的判定：连半径证垂直与作垂直证半径

证明一条直线是圆的切线，切线的判定分两种情形选方法：题目已经给出直线与圆的公共点，就连接圆心和这个点，证明这条半径与直线垂直；题目没有指明公共点，就过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径。两种方法对应课堂上常说的口诀「有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，证半径」，这里的「无交点」指的是题目没说交点在哪。

两种证法各用什么依据

连半径证垂直，用的是判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。定理有两个条件，一是直线经过半径的外端，也就是公共点在圆上；二是直线与这条半径垂直。题目给出公共点时，第一个条件已经有了，证明只围绕「垂直」展开。证垂直的常用手段有三种：直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的角度代换、勾股定理的逆定理，下面例 1 用的是勾股定理的逆定理，例 2 把前两种合在一起用。

作垂直证半径，用的不是切线的定义（直线和圆只有一个公共点），而是「直线和圆的位置关系」里的数量判定：圆心到直线的距离 d 等于半径 r 时，直线与圆相切。垂足是作出来的，事先不知道它在不在圆上，所以证明的目标是垂线段的长度等于半径，而不是证垂直。这类题的条件里常见角平分线、等腰三角形或已知的另一条切线，它们都是用来证明「两段垂线段相等」的。

两种情形的辅助线、证明目标和依据，可以对照着记：

三道证明题的书写格式

例 1 连半径，用勾股定理的逆定理证垂直。 ⊙O 的半径为 3，点 A 在 ⊙O 上，点 P 在圆外，PA = 4，OP = 5。求证：PA 是 ⊙O 的切线。

辅助线：连接 OA。证明写成下面几步：

• ∵ 点 A 在 ⊙O 上，∴ OA = 3（半径）
• ∵ OA² + PA² = 3² + 4² = 25 = OP²
• ∴ ∠OAP = 90°（勾股定理的逆定理），即 PA ⊥ OA
• ∴ PA 是 ⊙O 的切线（经过半径外端且垂直于半径）

例 2 连半径，用角的转化证垂直。 AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上，点 D 在 AB 的延长线上，且 ∠DCB = ∠A。求证：CD 是 ⊙O 的切线。

辅助线：连接 OC。由 OA = OC 得 ∠A = ∠OCA；由 AB 是直径得 ∠ACB = 90°，即 ∠OCA + ∠OCB = 90°。因为 ∠DCB = ∠A = ∠OCA，代换得 ∠DCB + ∠OCB = 90°，也就是 ∠OCD = 90°，所以 CD ⊥ OC。OC 是半径，C 是它的外端，所以 CD 是 ⊙O 的切线。

这道题的关键在于把「已知角」一路换到「半径与直线的夹角」上，等腰三角形 OAC 的两个底角是中转站。

例 3 作垂直，证距离等于半径。 △ABC 中 AB = AC，O 是 BC 的中点，⊙O 与 AB 相切于点 D。求证：AC 与 ⊙O 相切。

辅助线：连接 OD、OA，过点 O 作 OE ⊥ AC，垂足为 E。关键一行写成：

\because OD\perp AB,\ OE\perp AC,\ AO\text{ 平分 }\angle BAC,\ \therefore OE=OD

前提逐条交代：AB 与 ⊙O 相切于 D，所以 OD ⊥ AB 且 OD 是半径；AB = AC、O 是底边中点，由等腰三角形「三线合一」得 AO 平分 ∠BAC；角平分线上的点到角两边距离相等，所以 OE = OD。于是 OE 等于半径，AC 与 ⊙O 相切。

三处常见失分

1. 公共点未知时写「连接 OE」。E 是否在圆上正是要证的结论，只能写「过 O 作 OE ⊥ AC，垂足为 E」。
2. 只证了垂直，没交代点在圆上。例 1 若漏掉「A 在 ⊙O 上，OA 是半径」，垂直于 OA 的直线不一定是切线。
3. 把切线的判定和性质用反。例 3 里「OD ⊥ AB」来自已知的相切，是性质；最后一步「OE 等于半径，所以相切」才是判定。

在编辑器里录证明，⊙ 输入 \odot，⊥ 输入 \perp，∵ 与 ∴ 分别输入 \because 和 \therefore，按空格结束命令；括号里的理由用 \text{} 包住，汉字和空格照原样排出。

选哪种证法，读题时就能定：题目写明直线经过圆上哪一点，就连半径证垂直；公共点一字未提，就作垂直证半径。这一步定了，辅助线写「连接」还是「过 O 作……」也就定了。

延伸阅读

• 垂径定理：同样是作垂线、连半径，把弦的计算化成直角三角形
• 勾股定理逆定理：例 1 由三边判断直角用到的定理与三步写法
• 全等三角形判定方法：几何证明里「∵ … ∴ …」推理格式的另一组常用依据