垂径定理：半弦、弦心距、半径构成直角三角形

垂径定理说的是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。用在计算上，过圆心 O 作弦 AB 的垂线、垂足为 M，那么 AM = MB，半弦 AM、弦心距 OM、半径 OA 正好围成一个以 M 为直角顶点的直角三角形。于是半径 r、弦心距 d、弦长 a 满足 r² = d² + (a/2)²，三个量知道两个就能求第三个。

定理、推论和那个直角三角形

定理的条件是两条：过圆心、垂直于弦；结论是三条：平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧。条件里的「直径」可以换成过圆心的任意直线或线段，比如半径、弦心距所在的直线，结论照样成立。

它的推论反过来用：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。括号里的条件不能丢：任意两条直径都互相平分，却不一定互相垂直。

计算题几乎都落在同一个直角三角形上。作图时习惯先连半径 OA、再作 OM ⊥ AB，把「弦」的问题换成「直角三角形」的问题，然后用勾股定理：

表里最后一行的弓形高 h，是弧的中点到弦的距离，它和弦心距落在同一条直线上，两段相加正好是半径，所以弦心距写成 r − h。四行都是同一个关系式的不同解法：

四道例题

例 1 求弦心距。 ⊙O 的半径为 5，弦 AB = 8，求圆心到 AB 的距离。作 OM ⊥ AB 于 M，则 AM = 4，OM = √(5² − 4²) = 3。

例 2 求弦长。 ⊙O 的半径为 13，弦心距为 5，求弦长。半弦 = √(13² − 5²) = 12，弦长是 2 × 12 = 24。最后一步乘 2 最容易漏：勾股定理求出的是半弦。

例 3 拱桥求半径。 一座圆弧形拱桥，跨度 AB = 16 米，拱高 CD = 4 米（D 是弧的中点，C 是 AB 的中点），求桥拱所在圆的半径。设半径为 r，则 OC = r − 4，AC = 8，列方程：

(r-4)^{2}+8^{2}=r^{2}

展开得 r² − 8r + 16 + 64 = r²，8r = 80，r = 10 米。代回检验：OC = 6，6² + 8² = 100 = 10²，成立。

例 4 两条平行弦。 ⊙O 的半径为 5，弦 AB ∥ CD，AB = 6，CD = 8，求 AB 与 CD 之间的距离。先分别求弦心距：AB 的是 √(25 − 9) = 4，CD 的是 √(25 − 16) = 3。两弦在圆心同侧时距离为 4 − 3 = 1，在圆心两侧时为 4 + 3 = 7，答案有两个。下图里 EF 画的就是 CD 换到另一侧的位置。

三个容易丢分的地方

1. 把弓形高当成弦心距。例 3 里拱高 4 米是弧中点到弦的距离，弦心距是 r − 4，两者加起来才是半径。
2. 求出半弦就当弦长。例 2 的 12 是一半，要乘 2。
3. 平行弦只算一种位置。题目没给图时，两条弦可能在圆心同侧，也可能在两侧，例 4 要写出 1 和 7 两个答案。

在编辑器里写 ⊙O 输入 \odot O，垂直号输入 \perp，都是按空格结束命令；平方根用 \sqrt{}，例 2 的半弦可以写成 \sqrt{13^{2}-5^{2}}=12。

拱桥、管道截面、圆形水面这类应用题，题干里给的通常是弦长和弓形高。先在图上把弧的中点、弦的中点和圆心连成一条竖线，r − h 那段就是直角三角形的一条直角边。

延伸阅读

• 切线的判定：同样靠连半径、作垂线把圆的问题变成直角三角形
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