勾股定理逆定理：判断直角三角形的3步

勾股定理逆定理说的是：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形，并且最长边 c 所对的角是直角。用它判断时固定走 3 步：先找出最长边；再算另外两条边的平方和；最后和最长边的平方比较，相等就是直角三角形，不等则判为非直角三角形。

3 步判断法

勾股定理是「已知直角，推出三边关系」，逆定理反过来，是「已知三边关系，推出直角」。所以逆定理的题目给的一定是三条边（或三边之比），要回答的是「能否判为直角三角形」「哪个角是直角」。两条定理的条件和结论正好互换，写证明时引用的依据也不同：由直角求边写「勾股定理」，由三边判直角写「勾股定理的逆定理」。

三步里第一步最容易省略，也最不能省：a² + b² = c² 里的 c 必须是最长边。拿到三个数先排个序，把最大的那个单独拿出来当 c。边长带小数或根号时，先比较它们的平方更稳妥，例如 √10 和 3，平方后是 10 和 9，√10 更长。

为什么非得是最长边？直角是三角形里最大的角，最大的角对着最长的边，所以如果真有直角，它一定对着最长边。拿两条短边的平方和去和最长边的平方比，正是在检验「最长边对面的那个角是否为直角」。

第三步比较时如果不相等，还能多说一句：设 c 是最长边，a² + b² < c² 时 c 所对的角是钝角，a² + b² > c² 时三个角都是锐角。

三道例题

例 1 三角形三边长为 8、15、17，判断它是否为直角三角形。

• 最长边：17
• 两短边平方和：8² + 15² = 64 + 225 = 289
• 比较：17² = 289，相等，所以是直角三角形，边长 17 所对的角是直角

例 2 三角形三边长为 12、13、5，判断它是否为直角三角形。

按题目给的顺序直接算 12² + 13² = 313，和 5² = 25 比较，会误判成「非直角三角形」。正确做法先找最长边 13：5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²，所以是直角三角形，边长 13 所对的角是直角。

例 3（比例形式） △ABC 的三边之比 a : b : c = 7 : 24 : 25，判断它的形状。

设 a = 7k、b = 24k、c = 25k（k > 0），最长边是 c。两短边平方和 49k² + 576k² = 625k²，正好等于 (25k)²，所以 △ABC 是直角三角形，∠C = 90°。比例题的关键是设出公共的 k，平方后 k² 在两边同时出现，比较时约掉即可。

对照一组不成立的：三边之比 2 : 3 : 4，设为 2k、3k、4k，4k² + 9k² = 13k² < 16k²，不是直角三角形，而且最长边所对的角是钝角。

如果题目给的是三个角之比，就不需要逆定理，直接用内角和算角度：例如 1 : 2 : 3，最大角是 180° × 3/6 = 90°。看清给的是边之比还是角之比，是比例题的第一步。

证明题里怎么写

作业里判断完要写成推理的形式，因为、所以两个符号在本站编辑器底部符号面板的「运算」页签里，点一下就插入；也可以直接输入 \because、\therefore，按空格结束命令。例 2 的结论写成：

\because 5^{2}+12^{2}=169=13^{2},\ \therefore \triangle ABC\text{ 是直角三角形}

三角形符号用 \triangle，中文结论放进 \text{} 里，汉字和空格都按正文排出来。

例 2 那种「最长边没有放在最后」的出题方式，是这个知识点最常见的陷阱。出练习卷时，可以故意把三边打乱顺序排进题干，让学生先写出「最长边是 ×」这一步，再往下算。

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