特殊直角三角形三边比：1∶√3∶2与1∶1∶√2

特殊直角三角形三边比只有两组：30°-60°-90° 三角形的三边比是 1∶√3∶2，45°-45°-90° 三角形的三边比是 1∶1∶√2。前一组里，30° 角对的边最短记作 1，60° 角对的边是它的 √3 倍，斜边是它的 2 倍；后一组两条直角边相等，斜边是直角边的 √2 倍。只要知道任意一条边，另外两条边都能按比例直接写出，不必再列勾股方程。

这两种三角形就是一副三角尺里的两块。初中教材在等边三角形一节证明「30° 角所对的直角边等于斜边的一半」，九年级学锐角三角函数时又用这两块三角尺推出 30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切值，所以这组比例从八年级一直用到中考。

两块三角尺的三边比速查

先把两块三角尺的边和角对应清楚。30°-60°-90° 那块：最短边对 30° 角，中间那条边对 60° 角，最长的是斜边；45°-45°-90° 那块是等腰直角三角形，两条直角边一样长。

两组比都能用勾股定理核对：1² + (√3)² = 1 + 3 = 4 = 2²；1² + 1² = 2 = (√2)²。在 Rt△ABC 中 ∠C = 90°、∠A = 30° 时，写成比例式就是：

BC:AC:AB=1:\sqrt{3}:2

两块三角尺并排看：30° 那块细长，斜边正好是最短边的两倍；45° 那块两条直角边等长，斜边比直角边长约四成。下面两张示意按真实比例画出，边长用的是后面例 1 和例 3 的数，∠C 都是直角。

这一块里 BC 对 30° 角，长 5；AC 对 60° 角，长 5√3；斜边 AB 长 10，正好是 BC 的两倍。

等腰直角的那块两条直角边都是 4√2，斜边是 8，两个锐角都是 45°。已知不同的边时，另两边的算法可以整理成一张表：已知短边乘，已知长边除。要注意除以 √3 或 √2 之后要分母有理化，结果写成 2√3、4√2 这种形式，这是中考阅卷的通常要求。

三道求边长例题

下面三道题都设 Rt△ABC 中 ∠C = 90°，每一道最后都用勾股定理验一次。

例 1　已知斜边，求两条直角边。 ∠A = 30°，AB = 10，求 BC 与 AC。

1. BC 是 ∠A 的对边，也就是 30° 角所对的边，BC = AB ÷ 2 = 5。
2. AC 对 60° 角，AC = √3 × BC = 5√3。
3. 验算：5² + (5√3)² = 25 + 75 = 100 = 10²。

例 2　已知较长的直角边，求另外两边。 ∠A = 30°，AC = 6，求 BC 与 AB。

1. AC 对 60° 角，按比例 BC = AC ÷ √3 = 6 ÷ √3。
2. 分母有理化：6 ÷ √3 = 6√3 ÷ 3 = 2√3。
3. 斜边 AB = 2 × BC = 4√3。
4. 验算：(2√3)² + 6² = 12 + 36 = 48 = (4√3)²。

例 3　等腰直角三角形，已知斜边。 ∠A = 45°，AB = 8，求两条直角边。

1. 两条直角边相等，都等于斜边除以 √2：8 ÷ √2 = 8√2 ÷ 2 = 4√2。
2. 所以 AC = BC = 4√2。
3. 验算：(4√2)² + (4√2)² = 32 + 32 = 64 = 8²。

三道题里例 2 最容易错，下面单独说。

三个常见错误

把 √3 放错位置。 比例 1∶√3∶2 里的 √3 是 60° 角所对的边，不是斜边。判断方法很简单：斜边永远最长，而 √3 ≈ 1.73 小于 2，所以 √3 那条边轮不到斜边。

已知长边时直接乘。 例 2 已知的是对 60° 角的边，要从它倒推短边，应当除以 √3；有同学顺手乘了 √3，得到 BC = 6√3，比 AC 还长，一眼就能看出不对。

忘了分母有理化。 6 ÷ √3 写成 6/√3 当最终结果，很多试卷会扣分，统一化成 2√3。

在坐标系里求点的坐标、再用两点求直线时，这组比例也常出现，求出点坐标之后接着看一次函数求解析式。

把例 2 的结果录进公式编辑区：在「LaTeX」模式里把两个结果写成一条 BC=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3},\quad AB=4\sqrt{3}，切回「可视化」模式看根号与分数线是否整齐，再按顶栏「导出」选「Word（含公式）」放进讲义；导出需要登录并开通本站会员。

延伸阅读

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