一次函数求解析式：待定系数法的3种已知条件

一次函数求解析式用的是待定系数法：先设 y = kx + b，再用题目条件列出关于 k、b 的方程，解出来代回去。已知两点，就把两点坐标分别代入，得到二元一次方程组；已知一点和 k，只剩 b 一个未知数，代入一次就够；已知图像，就先从图上读出两个整数坐标点，再按两点的做法求。三种条件归根到底都是「凑够两个方程，解出两个未知数」。

这一节在人教版八年级下册「一次函数」一章（新版教材在陆续换版，以手上的版本为准），是函数部分第一次系统使用待定系数法，后面二次函数求解析式也是同一个思路。下面每种条件配一道例题，最后专门对照一次「k 解错了」长什么样、怎么当场发现。

三种已知条件的速查

三种条件里，第二种最省事，第一种最常考，第三种最容易在读点上出错。读图题要先确认坐标轴每格代表几个单位，有的题一格是 2 或 0.5，照「一格一个单位」去读，后面怎么算都对不上；拿不准时，把读出的点代进最后的解析式试一试。

已知两点时，也可以先用斜率公式直接算 k，再代一个点求 b，省掉解方程组的消元：

k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

分子、分母必须同一个顺序相减：分子用第 2 个点减第 1 个点，分母也用第 2 个点减第 1 个点。顺序一乱，k 的符号就反了，后面的「解错 k 对照」专讲这件事。

三道例题

例 1　已知两点。 直线经过 A(1, 3) 和 B(−2, −3)，求解析式。

1. 设 y = kx + b，把两点代入：k + b = 3，−2k + b = −3。
2. 两式相减：3k = 6，所以 k = 2。
3. 代回第一个方程：2 + b = 3，b = 1。
4. 解析式 y = 2x + 1。验算 B 点：2 × (−2) + 1 = −3，对得上。

例 2　已知一点和 k。 直线的 k = −3，且经过点 (2, −1)。

1. 设 y = −3x + b，把点代入：−1 = −3 × 2 + b。
2. 解得 b = 5，解析式 y = −3x + 5。
3. 验算：x = 2 时 y = −6 + 5 = −1。

例 3　已知图像。 坐标系里画着一条直线：它从左下往右上走，与 y 轴交于 (0, −2)，与 x 轴交于 (4, 0)。

1. 从交 y 轴的点直接读出 b = −2。
2. 把 (4, 0) 代入 y = kx − 2：0 = 4k − 2，k = 1/2。
3. 解析式 y = ½x − 2。图像从左下往右上，k 应当为正，和算出来的 1/2 一致。
4. 再读一个点核对：直线还经过 (2, −1)，½ × 2 − 2 = −1。

读图时要挑落在格点上的点，估读的非整数坐标会把误差带进 k。

解错 k 的对照

还用例 1 的两点。有人把分子写成 −3 − 3，分母却写成 1 − (−2)：

错误的一行得到 k = −6 ÷ 3 = −2，再代 A 点得 b = 5，写出 y = −2x + 5。这时用 B 点一验：−2 × (−2) + 5 = 9，而 B 的纵坐标是 −3，立刻就露馅。所以每道题最后「把没用过的那个点代回去」这一步不能省，它是发现 k 符号错误最直接的办法。

另外两个常见问题：解方程组时把 b 消掉之后忘了回代求 b；已知图像时把 x 轴交点的横坐标当成 b。前者检查「k、b 两个数都求出来了没有」，后者记住 b 是与 y 轴交点的纵坐标。

思路相近的十字相乘法同样靠代回原式或展开来验算，可以对照着复习。

把例 3 的三步解答录进公式编辑区：在「LaTeX」模式里写 0=4k-2,\ k=\frac{1}{2},\ y=\frac{1}{2}x-2，切到「可视化」模式核对分数，再用顶栏「导出」里的「PNG 图片」贴进电子错题本；导出要登录并开通本站会员。

延伸阅读

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