短除法求最大公因数：连除到互质再相乘

短除法求最大公因数分三步：用几个数公有的质因数去除，把商写在下面；对商继续用公有的质因数去除，一直除到商只有公因数 1（互质）为止；最后把左边所有的除数乘起来，就是最大公因数。例如 36 和 48 依次用 2、2、3 去除，最后一行是 3 和 4，最大公因数是 2 × 2 × 3 = 12。下面配 3 道例题，第 3 道是三个数，并说明三个数时什么时候该停。

短除号怎么写

短除法的竖式和普通除法倒过来：被除的几个数并排写在上面，除数写在左边，左边画一条竖线、下面画一条横线，商写在横线下面，和上面的数一一对齐。以 36 和 48 为例，整个过程按下表五步走，每一行对应竖式里的一步：

除数一定要用质数。用合数也能除下去，例如 36 和 48 直接用 12 去除，一步就得到 3 和 4，结果同样是 12；但考试和课本的写法要求逐个质因数去除，用 4、6 这类合数会让步骤看不出来。下图是 36 和 48 的完整短除式，左边一列 2、2、3 就是要相乘的除数。

3 道例题

例 1 36 和 48。 按上表除三次，最大公因数 12。验算：36 ÷ 12 = 3，48 ÷ 12 = 4，3 和 4 互质，说明 12 已经是最大的。

例 2 90 和 126。 两个数都是偶数，先用 2 除得 45、63；45 和 63 数字和都是 9 的倍数，用 3 除得 15、21；再用 3 除得 5、7。5 和 7 互质，最大公因数 2 × 3 × 3 = 18。验算：90 ÷ 18 = 5，126 ÷ 18 = 7。除的顺序不影响结果：先用 3 除得 30、42，再用 2 除得 15、21，再用 3 除得 5、7，左边仍是 3、2、3，乘积还是 18。

例 3 三个数 30、45、75。 三个数都能被 3 整除，得 10、15、25；三个数又都能被 5 整除，得 2、3、5。2、3、5 没有公有的质因数了，最大公因数 3 × 5 = 15。验算：30、45、75 分别是 15 的 2 倍、3 倍、5 倍。

三个数：公有的除数要三个数都能除

三个数求最大公因数，每一步的除数必须能同时整除三个数；只能整除其中两个的，这一步就停。以 18、30、45 为例：用 3 除得 6、10、15，这时 6 和 10 还都能被 2 整除，但 15 不能，所以停下，最大公因数是 3。

这和求最小公倍数的短除法正好不同：求最小公倍数时，两个数有公因数也要接着除，除不动的数原样落下来，一直除到两两互质。把两种停法放在一起比，最不容易混：

截图是例 3 三个数（30、45、75）的排法。在编辑器里排短除号可以用带竖线的 array，横线用 \underline 画在每一行下面：

\begin{array}{r|rr}2&\underline{36}&\underline{48}\\2&\underline{18}&\underline{24}\\3&\underline{9}&\underline{12}\\&3&4\end{array}

批改时只看最后一行：两个数（或三个数）如果还能被同一个质数整除，这道题就还没除完，最大公因数一定偏小。反过来，最后一行互质却还往下除，说明那一步的除数没有同时整除所有数，要回头逐个检查。

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