最小公倍数怎么求：短除法与分解质因数

最小公倍数怎么求，常用三种方法：分解质因数后取每个质因数的最高次幂相乘；用短除法除到两两互质，把除数和最后的商全部相乘；两个数时还可以先求最大公因数，再用两数之积除以它。三种方法结果一致，可以互相验算。下面用 18 和 24、12、18 和 30 两组数各走一遍，最小公倍数记作 lcm，最大公因数记作 gcd。

三种方法速查

列举倍数也能找到答案：18 的倍数 18、36、54、72，24 的倍数 24、48、72，第一个相同的是 72。这个办法适合 20 以内的小数字，数一大就要列很长。三种方法里，分解质因数最能看清结构，短除法写起来行数最少，公式法在数很大时省去分解的麻烦，按题目的数挑一种，再用另一种验算。

三种方法分步示范

方法一：分解质因数

以 18 和 24 为例：18 = 2 × 3²，24 = 2³ × 3。出现过的质因数是 2 和 3，2 的最高次幂是 2³，3 的最高次幂是 3²，所以 lcm(18, 24) = 2³ × 3² = 72。

顺带能读出最大公因数：取每个质因数的最低次幂，2¹ × 3¹ = 6。最大公因数取低、最小公倍数取高，两个一起记最省事。

方法二：短除法（三个数也能用）

以 12、18、30 为例。先用 2 去除，三个数都能整除，得 6、9、15；再用 3 去除，得 2、3、5；2、3、5 两两互质，停。把左边的除数 2、3 和最后一行 2、3、5 全部相乘：2 × 3 × 2 × 3 × 5 = 180。

三个数时有一条和两个数不同的规矩：只要有两个数能被同一个质数整除就可以除，除不动的那个数原样落到下一行。比如 4、6、9：用 2 除，4 和 6 能除，9 原样落下，得 2、3、9；再用 3 除，3 和 9 能除，得 2、1、3；此时两两互质，结果是 2 × 3 × 2 × 1 × 3 = 36。验算：36 能被 4、6、9 整除，而 36 以内再找一个更小的公倍数找不到。

方法三：先求最大公因数

两个数较大时，先用辗转相除法求最大公因数。以 84 和 126 为例：126 ÷ 84 = 1 余 42，84 ÷ 42 = 2 余 0，余数为 0 时的除数 42 就是 gcd(84, 126)。于是 lcm(84, 126) = 84 × 126 ÷ 42 = 252。

这个公式只对两个数成立。三个数时照搬会出错：12 × 18 × 30 ÷ gcd(12, 18, 30) = 6480 ÷ 6 = 1080，而真正的最小公倍数是 180。三个数要么用短除法，要么两两来：先算 lcm(12, 18) = 36，再算 lcm(36, 30) = 180。

常见错误

1. 短除法停早了。 12、18、30 只除一次 2 就停，得 2 × 6 × 9 × 15 = 1620，是公倍数但偏大了，要一直除到两两互质。
2. 分解质因数取了最低次幂。 那样得到的是最大公因数，与最小公倍数混了。
3. 把公式法用到三个数上。 见上一节的 1080 与 180。
4. 忘了乘最后一行。 短除法的结果是「除数 × 末行」，只乘左边的除数得到的是公因数部分。

把算式写进作业与讲义

本站编辑器负责排版，计算要自己完成。质因数的幂用 ^ 输入，乘号打 \times，按空格结束命令，符号随打随显；lcm 与 gcd 用 \operatorname{lcm} 和 \gcd 写成直立体：

\operatorname{lcm}(84,126)=\frac{84\times126}{\gcd(84,126)}=\frac{10584}{42}=252

点代码块下方的「在编辑器中打开」即可载入这条公式，把数字改成自己的题目。通分时的公分母就是分母的最小公倍数，写分数加减的推导同样可以在编辑器里排。

可以马上做的一件事：从练习册里挑一道三个数的题，先用短除法算，再用「两两来」的办法验算一次，把两种过程各写一行。

延伸阅读

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