分母有理化：乘有理化因式去掉分母根号
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分母有理化就是把分母里的根号去掉：分子、分母同乘一个「有理化因式」，让分母变成有理数。分母是单项根式 √a 时乘 √a；分母是 √a ± √b 这类两项式时乘它的共轭式 √a ∓ √b，用平方差公式消掉根号。做之前先把根号化成最简二次根式，因式会更小、算得更快。
两类分母的有理化因式
| 分母的样子 | 乘什么 | 分母变成 | 例子 |
|---|---|---|---|
| √a | √a | a | 10/√5，分母乘 √5 后是 5 |
| m√a | √a | ma | 9/(2√3)，分母变成 6 |
| √a + √b | √a − √b | a − b | 分母 √7 + √3 变成 4 |
| √a − √b | √a + √b | a − b | 分母 √5 − 1 变成 4 |
| m + √b | m − √b | m² − b | 分母 2 + √3 变成 1 |
表里最要紧的是第二列：分子分母要乘同一个数，分数的值才不变。有理化因式可以有好几种选法，比如 9/(2√3) 也可以乘 2√3，结果一样，只是中间数字更大，约分多一步。
为什么教材要求把结果化成分母不含根号的形式？一是方便比较大小和估值：√3/2 一眼能看出约等于 0.866，3/√12 就得先想一下；二是方便合并，几个结果分母都是有理数时，通分和加减都顺手。所以化简题的最后一步，通常就是检查分母里还有没有根号。
判断用哪一种因式，只看分母有几项：一项就乘那个根式本身，两项就乘把中间符号反过来的式子。两项式里如果只有一项带根号，比如 2 + √3，做法完全一样，乘 2 − √3，分母变成 4 − 3 = 1，结果干脆成了整式。
四道例题
例 1（单项根式） 10/√5：分子分母同乘 √5，得 10√5/5 = 2√5。代回检查：10 ÷ 2.236 ≈ 4.472，2 × 2.236 ≈ 4.472，相等。这一类最常见的疏忽是结果没约分，停在 10√5/5 上，分子分母还有公因数 5。
例 2（先化简再有理化） 3/√12：先把 √12 化成 2√3，原式 = 3/(2√3)，再乘 √3 得 3√3/6 = √3/2。如果不先化简，直接乘 √12，分母是 12，分子是 3√12 = 6√3，最后仍要约分到 √3/2，多绕一步。被开方数里有 4、9、16、25 这样的平方因数时，都值得先提出来再动手。
例 3（√a + √b 型） 4/(√7 + √3)：乘 √7 − √3，分母 (√7)² − (√3)² = 7 − 3 = 4，与分子的 4 约掉，结果 √7 − √3。用小数核对：4 ÷ (2.6458 + 1.7321) ≈ 0.9137，2.6458 − 1.7321 ≈ 0.9137。
例 4（分子分母都带根号） (√5 + 1)/(√5 − 1)：乘 √5 + 1，分母 5 − 1 = 4，分子 (√5 + 1)² = 6 + 2√5，结果 (3 + √5)/2，约等于 2.618。分子要整个平方，展开时别漏了中间的 2√5。
这道题还有个顺手的验算：原式的分子分母交换后是它的倒数，(√5 − 1)/(√5 + 1) 有理化后是 (3 − √5)/2。两个结果相乘，(9 − 5)/4 = 1，正好互为倒数，说明两边都算对了。
例 3 的两步过程放进编辑器时，可以复制下面这段：
\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}=\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}=\sqrt{7}-\sqrt{3}
只乘分母：错对对照
- 只给分母乘了因式。 2/√5 写成 2/5：分母的根号没了，分数的值却从约 0.894 变成 0.4。正确做法是分子也乘 √5，得 2√5/5。
- 两项式分母只乘了一项。 1/(√3 + √2) 乘成 √3/(3 + √2)：分母里仍有根号。两项式要乘整个共轭式，分母才能用平方差公式。
- 共轭式符号没变。 分母 √5 − 1 乘了 √5 − 1，得到 6 − 2√5，根号还在。共轭式只改中间的加减号。
三条错误都能用同一个办法自查：把原式和结果各用计算器按一遍小数，两个数相等才算做对。只乘分母的写法，小数一比就露馅。
有理化做完再看三条：分母是整数，分子里的根号已化到最简，分子分母没有公因数。三条都满足，这道题才算做完。
延伸阅读
常见问题
- 分母是√a+√b乘什么？
- 乘它的共轭式，也就是根号a减根号b，分子分母同时乘。分母用平方差公式化成a减b，根号就没有了。分母是根号a减根号b时反过来乘根号a加根号b。如果分母是2加根号3这种一项带根号、一项不带的，同样换中间的符号，乘2减根号3，分母变成4减3等于1。