二次根式的运算：化简、加减、乘除的步骤

二次根式的运算按三步走：先把每个根式化成最简二次根式（被开方数里不含能开得尽的因数），再按乘除法则把根号下的数相乘或相除，最后把被开方数相同的「同类二次根式」合并。加减只合并同类根式，乘除可以直接合进一个根号。凡遇到 √(a²)，结果是 a 的绝对值 |a|，而不一定是 a。

法则速查与化简要点

化简是一切运算的第一步。把被开方数分解出最大的平方因数，开出来放到根号外：√18 = √(9 × 2) = 3√2，√50 = √(25 × 2) = 5√2，√48 = √(16 × 3) = 4√3。被开方数是分数时，先化成分母为平方数的形式：√(1/3) = √3/3。

判断是不是最简，看两条：根号下没有能开尽的因数，根号下没有分母。√12 不是最简（含 4），√(2/3) 也不是（有分母），它们分别化成 2√3 和 √6/3。

乘法 √a · √b = √(ab)、除法 √a ÷ √b = √(a/b) 的前提是 a ≥ 0、b ≥ 0（除法里 b > 0）。负数在实数范围里没有平方根，这两条法则对负数不适用。

混合运算的顺序和有理数一样：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的。能用乘法公式的地方优先用公式，平方差、完全平方两个公式在根式题里出现得最多，能省掉逐项相乘的麻烦。

做题前先扫一眼整道式子：如果每一项化简后都是同一个根式的倍数，就是纯加减题；如果出现括号相乘，多半要用公式；如果根号下是分数，先化掉分母。心里有了这三类，下笔就不会乱。下表把化简、乘除、加减、平方与开方六条法则放在一起，右列是本文例题里的数。

六道混合运算

例 1（加减合并） √18 + √8 − √50 = 3√2 + 2√2 − 5√2 = 0。三个根式化简后都是 √2 的倍数，系数 3 + 2 − 5 = 0。

例 2（乘法） √12 × √6 = √72 = √(36 × 2) = 6√2。也可以先化简：2√3 × √6 = 2√18 = 6√2，两条路结果相同。

例 3（除法） √48 ÷ √3 = √16 = 4。被开方数正好整除时，直接合进一个根号；整除不了时，先各自化简，再把分母有理化。

例 4（平方差） (√3 + √2)(√3 − √2) = 3 − 2 = 1。两个共轭式相乘，根号全部消掉，这正是分母有理化用到的那一步。

例 5（完全平方） (2√3 − 1)² = (2√3)² − 2 × 2√3 × 1 + 1 = 12 − 4√3 + 1 = 13 − 4√3。(2√3)² 是 4 × 3 = 12，最常见的错是写成 2 × 3 = 6。

例 6（三项混合） √27 − √(1/3) + √12 = 3√3 − √3/3 + 2√3 = (5 − 1/3)√3 = 14√3/3。系数里出现分数时，通分成 15/3 − 1/3 = 14/3 再乘 √3。这一题三项看着不同，化简后全是 √3 的倍数，是考试里最常见的「伪装」同类根式。

六道题的结果都可以用小数代回检查。例 6：√27 ≈ 5.196，√(1/3) ≈ 0.577，√12 ≈ 3.464，合计 8.083；14 × 1.732 ÷ 3 ≈ 8.083，两边一致。例 5 同样：(2 × 1.732 − 1)² ≈ 6.072，13 − 4 × 1.732 ≈ 6.072。

例 5 要在作业里写清展开过程，可以把这一行复制进编辑器再改数：

(2\sqrt{3}-1)^2=(2\sqrt{3})^2-2\times2\sqrt{3}\times1+1=13-4\sqrt{3}

√(a²) = |a| 与另外三处易错点

• √(a²) 直接写成 a。 a = −3 时，√((−3)²) = √9 = 3，而不是 −3。字母题要看取值范围：已知 x < 2，则 √((x − 2)²) = |x − 2| = 2 − x。
• 不同类的根式硬合并。 √2 + √3 写成 √5 是错的，√2 + √3 ≈ 3.146，√5 ≈ 2.236。被开方数不同就保留两项。
• 系数和被开方数混乘。 2√3 × 3√2 应是 (2 × 3)√(3 × 2) = 6√6，系数乘系数、根号下乘根号下。
• 结果没化到最简。 算出 √72 就停下，要继续化成 6√2；结果的分母里有根号时也要有理化。

根号模板在符号面板「常用」页签，点一下再填被开方数。录完一道题，看预览里根号的横线是否盖住了整个被开方数，没盖全说明括号位置不对。

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