多边形内角和：(n−2)×180°与外角和360°

n 边形的多边形内角和是 (n − 2) × 180°，外角和恒为 360°。内角和公式的来历是：从一个顶点出发向其余不相邻的顶点连对角线，可以连 n − 3 条，把 n 边形分成 n − 2 个三角形，每个三角形内角和 180°，合起来就是 (n − 2) × 180°。外角和与边数无关，三角形、六边形、二十边形的外角和都是 360°。

(n − 2) × 180° 从哪来

以下图画的六边形 ABCDEF 为例，从顶点 A 出发，A 与相邻的 B、F 不用连，只能连向 C、D、E，共 3 条对角线，即 6 − 3。这 3 条对角线把六边形分成 △ABC、△ACD、△ADE、△AEF 共 4 个三角形，即 6 − 2。这 4 个三角形的内角拼起来，恰好组成六边形的全部内角，所以内角和是 4 × 180° = 720°。

换成 n 边形，道理完全一样：对角线 n − 3 条，三角形 n − 2 个，内角和 (n − 2) × 180°。记住「减 2」是三角形个数，「减 3」是一个顶点出发的对角线条数，两个数别混，三角形个数永远比对角线条数多 1。

这个分法对凸多边形都适用，边数再多也只是多几条对角线、多几个三角形。外角和的推导只用一步：每个顶点处内角与外角互补，n 个顶点共 n × 180°，减去内角和 (n − 2) × 180°，剩下 2 × 180° = 360°。

常见多边形速查

正多边形每个内角都相等，所以每个内角 = 内角和 ÷ n，每个外角 = 360° ÷ n，两者相加是 180°。

七边形的内角和是 900°，但正七边形每个内角 900° ÷ 7 除不尽，约为 128.6°，表里没有列。

三道例题

例 1 已知边数求内角和。 求十边形的内角和。代入 n = 10：(10 − 2) × 180° = 8 × 180° = 1440°。

例 2 已知内角和求边数。 一个多边形的内角和是 1260°，它是几边形？列方程 (n − 2) × 180° = 1260°，n − 2 = 7，n = 9，是九边形。

(n-2)\times 180^{\circ}=1260^{\circ},\quad n-2=7,\quad n=9

例 3 正多边形。 一个正多边形的每个外角都是 24°，求它的边数和每个内角。外角和 360° 除以每个外角：360° ÷ 24° = 15，是正十五边形；每个内角 180° − 24° = 156°。用内角和验算：(15 − 2) × 180° = 2340°，2340° ÷ 15 = 156°，一致。

用外角求边数比用内角快，因为外角和固定是 360°，一次除法就出结果；已知每个内角时，也可以先用 180° 减去它得到外角。

三个容易混的地方

1. 内角和与外角和。题目说「内角和是外角和的 4 倍」，列式是 (n − 2) × 180° = 4 × 360°，解得 n = 10；别把外角和也写成跟 n 有关的式子。
2. 漏加一个角。有人算内角和时漏加了一个内角，得到 1000°。内角和必须是 180° 的整数倍，比 1000° 大的最近一个是 1080°，所以 n = 8，漏掉的那个角是 80°。
3. 对角线条数。一个顶点出发的对角线是 n − 3 条；n 边形全部对角线是 n(n − 3) ÷ 2 条，六边形是 9 条。

在编辑器里写度数，180° 输入 180^{\circ}；× 输入 \times，按空格结束命令。

求边数有两个入口：给内角和，列 (n − 2) × 180° 的方程；给正多边形的一个外角，用 360° 去除。只给每个内角，先用 180° 减它，再走外角这条路。

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