一元一次不等式组：数轴取公共部分与口诀
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解一元一次不等式组固定三步：先分别解出组里的每个不等式，再把各自的解集画在同一条数轴上，最后取它们都覆盖到的那一段作为不等式组的解集。画数轴时，带等号的界点（≥、≤）画实心圆点，不带等号的界点（>、<）画空心圆圈；「大于」向右画，「小于」向左画。两个界点记作 a < b 时，结果可以直接套口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找。
三步与数轴画法
第一步是分别解。每个不等式单独移项、合并、系数化为 1，互不干扰。系数化为 1 时如果除以负数，不等号要改变方向，这一步错了，后面的数轴画得再准也没用。
第二步是画数轴。先在数轴上标出两个界点，再按「实心含等号、空心不含等号」画点，按「大于向右、小于向左」从点出发画线。两条线画在不同高度，重叠部分一眼能看出来。
第三步是取公共部分。数轴上两条线都盖住的那一段，就是不等式组的解集；两条线没有重叠，就写「不等式组无解」。结果里界点带不带等号，跟着各自画的是实心还是空心走。
四种情形放在一张表里，a < b：
| 类型 | 不等式组 | 解集 | 口诀 |
|---|---|---|---|
| 同向大于 | x > a，x > b | x > b | 同大取大 |
| 同向小于 | x < a，x < b | x < a | 同小取小 |
| 一大一小有重叠 | x > a，x < b | a < x < b | 大小小大中间找 |
| 一大一小无重叠 | x < a，x > b | 无解 | 大大小小无处找 |
四道例题一步一步写
例 1 同大取大。 解 3x + 1 > 7 与 x − 1 ≥ 3 组成的不等式组。第一个得 x > 2，第二个得 x ≥ 4。两个都是「大于」，取较大的界点 4，4 这一点带等号，所以解集是 x ≥ 4，数轴上 4 画实心点。
例 2 同小取小。 解 2x − 5 < 1 与 (x + 1) / 2 ≤ 1。第一个得 x < 3，第二个两边乘 2 得 x + 1 ≤ 2，即 x ≤ 1。两个都是「小于」，取较小的 1，解集是 x ≤ 1。
例 3 大小小大中间找。 这道题两个不等式要分开处理，写成大括号的形式：
\begin{cases}3x-1\geq x+3\\ 7-2x>-3\end{cases}
第一个移项得 2x ≥ 4，x ≥ 2。第二个移项得 −2x > −10，两边除以 −2，不等号改变方向，得 x < 5。解集是 2 ≤ x < 5，2 处实心、5 处空心。题目要整数解时，从数轴上数出 2、3、4，共 3 个。
例 4 大大小小无处找。 解 x + 3 < 1 与 2x − 1 ≥ 1。第一个得 x < −2，第二个得 x ≥ 1。小于的界点 −2 比大于的界点 1 还小，两条线一左一右，没有重叠，所以不等式组无解。
画数轴时的四处差错
- 除以负数忘了变号。例 3 若把 −2x > −10 写成 x > 5，再和 x ≥ 2 取公共部分，得到的是 x > 5，与正确答案完全不同。
- 实心、空心画反。≥ 和 ≤ 画实心，> 和 < 画空心；最后写解集时，界点有没有等号必须和图上一致。
- 口诀里的「大」「小」看错对象。它比的是两个界点数值的大小，不是不等号开口朝哪边。
- 两个界点相同时没有单独判断。x ≥ 2 与 x ≤ 2 的公共部分只有 x = 2 这一个数；x > 2 与 x ≤ 2 则无解。
在编辑器里录解题过程时，≥ 输入 \geq、≤ 输入 \leq，按空格结束命令；不等式组用上面那段 cases 源码，两行之间的换行写 \\。
写完解集再对一次端点：带 ≤、≥ 的一端在数轴上是实心点，只带 <、> 的一端是空心圈。端点对上了，数出的整数解才不会多一个或少一个。
延伸阅读
常见问题
- “大大小小无处找”是什么意思？
- 它说的是两个解集一个比大数还大、一个比小数还小的情形，例如 x 小于负二同时 x 大于等于一。画到数轴上，一条向左、一条向右，两段没有重叠的部分，所以不等式组无解。判断时看的是两个界点的数值大小，不是看不等号的开口方向。