无理数的估算：用相邻平方数夹出范围

无理数的估算，核心是找两个相邻的完全平方数把被开方数夹住。比如 4 < 7 < 9，两边开平方得 2 < √7 < 3，√7 就在 2 和 3 之间。要更精确，就在这两个整数之间按 0.1 一格试平方，再用中点判断四舍五入，就能估到十分位。

夹逼的三步

1. 找平方数：在被开方数左右各找一个最近的完全平方数，a² < m < (a + 1)²。
2. 开方得整数范围：a < √m < a + 1，整数部分就是 a。
3. 要精确就细分：在 a 与 a + 1 之间取 a.1、a.2……逐个平方，直到夹住 m；再算两个一位小数的中点平方，决定四舍五入。

第一步靠的是熟记 1 到 20 的平方。常用的 12² = 144、13² = 169、15² = 225、17² = 289、19² = 361 要背下来，题目里的被开方数大多落在这个范围。考试中遇到三位数也不用慌，先看百位，找到大致的十位，再逐个试。

第三步不必从 a.1 开始一个个试，可以先看被开方数离哪个平方数更近。7 离 9 差 2、离 4 差 3，离 9 更近，√7 应该在 2.5 以上，从 2.6 试起就够了。这只是缩小试的范围，最后仍以平方的结果为准，因为平方根不是均匀分布的。

同样的思路还能用在两处。一是比较大小：比较 √10 与 3.2，只要比较平方，3.2² = 10.24 > 10，所以 √10 < 3.2，不用真的开方。二是立方根：把平方数换成立方数，8 < 20 < 27，所以 2 < ∛20 < 3，步骤完全一样。

估算题的答案形式有三种，要看清题目问的是哪一种：「在哪两个整数之间」给范围；「整数部分是几」给一个整数；「精确到 0.1」给一位小数的近似值。三种问法用的都是同一套夹逼过程，只是停在不同的步骤上。

四道例题

例 1 估计 √7 的范围。4 < 7 < 9，所以 2 < √7 < 3。再细分：2.6² = 6.76，2.7² = 7.29，所以 2.6 < √7 < 2.7；中点 2.65² = 7.0225 > 7，√7 比 2.65 小，估到十分位是 2.6。

例 2 √40 在哪两个相邻整数之间？36 < 40 < 49，所以 6 < √40 < 7。细分：6.3² = 39.69，6.4² = 40.96，于是 6.3 < √40 < 6.4；6.35² = 40.3225 > 40，估到十分位是 6.3。

例 3（带运算） 估计 5 − √7 的范围。由例 1 的 2 < √7 < 3，两边乘 −1 得 −3 < −√7 < −2，不等号要反向；再加 5 得 2 < 5 − √7 < 3。所以 5 − √7 的整数部分是 2，小数部分是 (5 − √7) − 2 = 3 − √7。

例 4（三位数） 估计 √130 到十分位。121 < 130 < 144，所以 11 < √130 < 12。11.4² = 129.96，11.5² = 132.25，所以 11.4 < √130 < 11.5；11.45² = 131.1025 > 130，结果是 11.4。这题 11.4² 只比 130 小 0.04，说明 √130 非常接近 11.4。

下表列了 1 到 16 的平方，256 以内的被开方数都能在里面找到左右两个邻居；超出表的范围，就从 17² = 289、20² = 400 这类整数往两边试。

每道题的结果都可以反过来核对：把估出的一位小数平方，应该最接近被开方数。例 2 里 6.3² = 39.69，比 6.4² = 40.96 离 40 更近，与估算结果一致。

常见错误

• 找的平方数不相邻。 写成 1 < √7 < 3（用了 1 和 9），范围对但不够精确，题目问「在哪两个相邻整数之间」时不得分。
• 带负号不变号。 例 3 写成 −2 < −√7 < −3，两边数的大小关系就颠倒了。
• 用中点估却没算中点平方。 看到 7 在 6.76 与 7.29 之间就说「靠近 7.29，所以取 2.7」，其实要比的是 2.65² 与 7 的大小。
• 把整数部分当成近似值。 √130 的整数部分是 11，但它约等于 11.4，两个说法不能混。

夹逼的式子写进作业时，可以复制这一行，把数换成你的题：

2.6^2=6.76<7<7.29=2.7^2\Rightarrow 2.6<\sqrt{7}<2.7

数轴题要求标出 √7 的大致位置时，点在 2.6 与 2.7 之间、略偏向 2.6 一侧即可，不必量到毫米。

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