等差中项与等比中项：2b=a+c与b²=ac

a、b、c 成等差数列时，b 叫 a 与 c 的等差中项，满足 2b = a + c，即 b = (a + c)/2；a、b、c 成等比数列时，b 叫 a 与 c 的等比中项，满足 b² = ac，前提是 a、c 同号，b = ±√(ac)，有两个值。推广到数列里的任意项：下标和相等，对应的两项之和（等差）或两项之积（等比）相等。

定义与下标和性质

两种中项是一对「和」与「积」的对应：等差看加法，中项是平均数；等比看乘法，中项是几何平均。任意两个数都有等差中项，而等比中项只在两数同号时存在，0 和任何数都没有等比中项，因为等比数列的项不能为 0。

下标和性质是中项定义的推广。等差数列里 a₃ + a₉ = a₄ + a₈ = 2a₆，都是下标和为 12；等比数列里 a₂a₈ = a₃a₇ = a₅²，下标和都是 10。题目只给两项的和或积时，先看下标加起来是多少，往往能直接得到中间那一项。

要注意性质的方向：下标和相等能推出两项之和相等，反过来不一定成立。常数列 5、5、5… 里任意两项之和都相等，但下标和并不都相等。所以做题只能从「下标和」出发去找「项」，不能倒推。

把两个定义写成公式，就是下面这张图的左右两节：左边一节是等差，右边一节是等比，形状完全对称。

三道例题

例 1（求参数） 已知 x − 1、3x、2x + 5 成等差数列，求 x。由中项定义 2 × 3x = (x − 1) + (2x + 5)，6x = 3x + 4，x = 4/3。代回：三项是 1/3、4、23/3，1/3 + 23/3 = 8 = 2 × 4，成立。

例 2（等比中项两个值） 求 3 与 27 的等比中项。b² = 3 × 27 = 81，b = ±9。验证：3、9、27 公比 3；3、−9、27 公比 −3，两个都是等比数列。

例 3（下标和性质） （1）等差数列 {aₙ} 中 a₂ + a₁₀ = 18，求 a₆ 与前 11 项和 S₁₁。下标 2 + 10 = 12 = 6 + 6，所以 2a₆ = 18，a₆ = 9；S₁₁ = 11(a₁ + a₁₁)/2 = 11a₆ = 99。（2）各项为正的等比数列中 a₃a₇ = 64，求 a₅。3 + 7 = 5 + 5，a₅² = 64，各项为正，a₅ = 8。

（1）可以用一个具体数列验算：取 a₁ = 4，公差 d = 1，则 a₂ = 5，a₁₀ = 13，和为 18；a₆ = 9，前 11 项 4 + 5 + … + 14 的和是 99，与用性质算出的一致。（2）取 a₁ = 2，公比 q = √2，则 a₃ = 4，a₇ = 16，积 64；a₅ = 8，同样一致。

易错点：等比中项要看同号、看正负

• 异号的两个数硬求中项。 −1 与 4 的积是 −4 < 0，b² = −4 无实数解，−1 与 4 没有等比中项。
• 只写一个值。 例 2 只写 9，漏了 −9。题目没说「各项为正」时两个都要。
• 下标和性质用成下标积或写错个数。 a₂ + a₁₀ = 2a₆ 成立，a₂ + a₁₀ = a₁₂ 不成立，等号两边的项数也要相同。
• 在等比数列里把中项与项的符号弄混。 等比数列里隔一项的两项同号，所以 a₃、a₅、a₇ 符号一定相同；但单独给出两个数求中项时，符号不能确定。

下标和性质等差、等比各一条，不能合在同一个数列里用，在编辑器里可以直接复制这两段：

\text{等差：}m+n=p+q\Rightarrow a_m+a_n=a_p+a_q

\text{等比：}m+n=p+q\Rightarrow a_m a_n=a_p a_q

两种中项放在一起记：等差看和，等比看积。遇到等比中项，先查两数是否同号，再决定写一个值还是两个值。

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