三次函数的图像：用导数判断增减与画草图

画三次函数的图像，按四步走：求导、令导数为零找出可能的极值点、列表判断各区间导数的正负、按表描点连出草图。导数为正的区间图像上升，为负的区间下降，由升转降的点是极大值点，由降转升的点是极小值点。只看最高次项系数的正负，只能知道图像两端的走向，中间有几个「弯」要靠导数判断。

四步画图法

第 3 步不必每个区间都代入计算：因式分解后看每个因式的正负即可。第 4 步至少描出极值点和与 x 轴的交点，草图的形状就不会偏。

例 1：f(x) = x³ − 3x

f′(x) = 3x² − 3 = 3(x + 1)(x − 1)，令它为零得 x = −1 或 x = 1。列增减表：

f(−1) = −1 + 3 = 2，f(1) = 1 − 3 = −2。再求与 x 轴的交点：x³ − 3x = x(x² − 3) = 0，得 x = 0、x = ±√3（约 ±1.73）。

图像描述：从左下方上升，经过 (−√3, 0) 到达最高点 (−1, 2)，然后下降穿过原点，降到 (1, −2) 后转而上升，经过 (√3, 0) 向右上方延伸。整条曲线关于原点对称，因为 f(x) 是奇函数。

画完可以用两个点核对：x = 2 时 f(2) = 8 − 6 = 2，与极大值相等，说明曲线在 x = 2 处又回到了 y = 2 的高度；x = −2 时 f(−2) = −2，与极小值相等。这两个点让草图左右两端的高度也有了依据，不会画得过陡或过平。

例 2：f(x) = −x³ + 3x² + 1

f′(x) = −3x² + 6x = −3x(x − 2)，零点是 x = 0 和 x = 2。最高次项系数是负数，所以导数在两个零点之外为负、之间为正：

f(0) = 1，f(2) = −8 + 12 + 1 = 5。再补两个点：f(−1) = 1 + 3 + 1 = 5，f(3) = −27 + 27 + 1 = 1。图像描述：从左上方下降，经过 (−1, 5) 降到 (0, 1)，再上升到 (2, 5)，之后经过 (3, 1) 向右下方延伸。它与 y 轴交于 (0, 1)，与 x 轴只有一个交点，在 x = 3 右侧一点。

只凭最高次项判断：错与对

常见的错法是把三次函数当成二次函数的「开口」来看：系数为正就说「先增后减再增，有两个极值」。

• 错： f(x) = x³ + 3x 的系数为正，所以图像一定有一个极大值和一个极小值。
• 对： f′(x) = 3x² + 3 恒大于零，图像在整个实数范围内一直上升，没有极值点。

最高次项系数只决定两端：系数为正时左端向下、右端向上，系数为负时反过来。中间是否出现「先升后降」，要看 f′(x) = 0 有没有两个不相等的实根。下图把 x³ − 3x 与 x³ + 3x 放在一起，两条曲线的首项系数一样，形状却不同。

判别的办法是看导数这个二次函数的判别式。f(x) = ax³ + bx² + cx + d 求导得 f′(x) = 3ax² + 2bx + c，判别式 4b² − 12ac 大于零时有两个极值点，小于或等于零时没有极值点。x³ − 3x 的判别式是 0 − 12 × 1 × (−3) = 36，大于零；x³ + 3x 的是 −36，小于零。

把例 2 的推导录进编辑器时，导数的撇号直接输入单引号 '，括号里的因式照原样写；把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」可以粘贴下面这段源码：

f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)

例 2 的增减表可以作为模板：换一个三次函数，只要改第一行的两个零点和第三行的两个极值，其余格子按导数的正负填。

延伸阅读

• 高中数学函数图像：6 类基本函数的形状与性质对照
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