函数奇偶性判断：先看定义域再算f(−x)

函数奇偶性判断分两步：先看定义域是否关于原点对称，不对称就直接判为非奇非偶函数；对称了再算 f(−x)，等于 f(x) 是偶函数，等于 −f(x) 是奇函数，两个都不成立就是非奇非偶函数。图像上，偶函数关于 y 轴对称，奇函数关于原点对称。下面 4 道例题覆盖三种结论，其中一道是分段函数。

两步判断与图像特征

第一步为什么要先做：f(−x) 要有意义，−x 就必须也在定义域里。定义域像 [−1, 2] 这样一边长一边短时，x = 2 有函数值而 x = −2 没有，比较 f(−x) 与 f(x) 无从谈起。

第二步算 f(−x) 时，把式子里每一个 x 都换成 (−x)，带着括号代入，再和 f(x) 比较。说「非奇非偶」要举出具体的 x，例如 f(1) ≠ f(−1) 且 f(−1) ≠ −f(1)。另有一个特殊情形：f(x) = 0 且定义域对称时，它既是奇函数又是偶函数。判断出来以后，图像只需画出 y 轴右侧的一半，另一半按对称关系补齐。

四道例题

例 1 判断 f(x) = x³ − 1/x 的奇偶性。定义域是 {x | x ≠ 0}，关于原点对称。f(−x) = (−x)³ − 1/(−x) = −x³ + 1/x = −(x³ − 1/x) = −f(x)，是奇函数。它的定义域不含 0，所以图像不过原点。

例 2 判断 f(x) = x²，x ∈ [−1, 2] 的奇偶性。式子 x² 看着像偶函数，但定义域 [−1, 2] 不关于原点对称：2 在里面，−2 不在。所以它是非奇非偶函数，第二步不用算。

例 3 判断 f(x) = |x + 1| + |x − 1| 的奇偶性。定义域是 R。f(−x) = |−x + 1| + |−x − 1| = |x − 1| + |x + 1| = f(x)，是偶函数。取值核对：f(2) = 3 + 1 = 4，f(−2) = 1 + 3 = 4。

例 4 分段函数。 判断下面这个函数的奇偶性：

f(x)=\begin{cases}x^2+2x, & x>0\\ -x^2+2x, & x<0\end{cases}

定义域是 {x | x ≠ 0}，关于原点对称。分段函数要分两段各算一次，关键是看 −x 落在哪一段：

• 当 x > 0 时，−x < 0，用第二段：f(−x) = −(−x)² + 2(−x) = −x² − 2x = −(x² + 2x) = −f(x)。
• 当 x < 0 时，−x > 0，用第一段：f(−x) = (−x)² + 2(−x) = x² − 2x = −(−x² + 2x) = −f(x)。

两段都成立，所以是奇函数。取值核对：f(1) = 1 + 2 = 3，f(−1) = −1 − 2 = −3，互为相反数。

三个易错点

1. 跳过定义域。 例 2 如果直接算 f(−x) = x²，会误判成偶函数。
2. 分段函数只算一段。 例 4 两段各有一次代换，只验一段不能下结论；代换时 −x 要用它所在那一段的式子。
3. 以为奇函数都过原点。 只有 0 在定义域内时才有 f(0) = 0，例 1 的图像就不过原点。

在编辑器里录分段函数，用 \begin{cases} 环境，两段之间写 \\ 换行，条件前用 & 对齐；绝对值直接输入竖线 |x + 1|。

判完奇偶性，可以取一对非零的 x 与 −x（例如 2 与 −2）代进去核对：判为偶函数的，两个值应相等；判为奇函数的，应互为相反数；对不上就回头查第二步的代换。这一步只能查出算错，代替不了第一步看定义域。

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