函数的极值：导数为零的点一定是极值点吗

导数为零的点不一定是极值点。可导函数取得函数的极值时，该点导数一定为零；反过来，导数为零的点还要看左右两侧导数是否变号：左正右负是极大值点，左负右正是极小值点，不变号就不是。像 y = x³ 在 x = 0 处导数为零，左右两侧导数都为正，函数一直上升，所以 0 不是极值点。

求极值的三步

第 3 步是本篇标题问题的答案所在：第 2 步求出的只是「候选点」，要过第 3 步这一关才算数。判断正负时，不必把候选点两侧的数一个个代进去算，因式分解后只看每个因式在这一段是正还是负，再按「负负得正」合起来即可。

三道例题

例 1 求 f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 的极值。

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3)，令它为零得 x = −1、x = 3。

极大值 f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10，极小值 f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22。图像描述：曲线从左下方升到 (−1, 10)，下降到 (3, −22)，再向右上方升起。

例 2 求 f(x) = x·eˣ 的极值。

f′(x) = eˣ + x·eˣ = (x + 1)eˣ。eˣ 恒为正，所以 f′(x) 的正负只看 x + 1：x < −1 时为负，x > −1 时为正。x = −1 处左负右正，是极小值点，极小值 f(−1) = −1/e（约 −0.37）；函数没有极大值。图像描述：左侧贴着 x 轴下方缓慢下降，到 (−1, −1/e) 后转而上升，经过原点后迅速增大。

例 3 求 f(x) = ln x − x 的极值。

定义域是 x > 0。f′(x) = 1/x − 1 = (1 − x)/x，分母 x 为正，正负看 1 − x：0 < x < 1 时为正，x > 1 时为负。x = 1 处左正右负，是极大值点，极大值 f(1) = 0 − 1 = −1；没有极小值。图像描述：从 y 轴右侧的下方升到 (1, −1)，之后一直下降。

反例：导数为零却不是极值点

f(x) = x³，f′(x) = 3x²，f′(0) = 0。但 x < 0 和 x > 0 时 f′(x) 都大于零，导数在 0 的两侧没有变号，函数在整个实数范围内单调递增，x = 0 不是极值点。图像在原点处变得平缓，切线是 x 轴，穿过原点后继续上升。

还有一种相反的情形：y = |x| 在 x = 0 处不可导，却是极小值点，因为左侧下降、右侧上升。所以「导数为零」对可导函数的极值点来说是必要条件，不是充分条件。

极值和最值也要分清。极值只和附近的点比，一个函数可以有好几个极大值；最值是和整个区间比，只有一个。例 1 若限定在区间 [−2, 4] 上，端点值 f(−2) = −8 − 12 + 18 + 5 = 3，f(4) = 64 − 48 − 36 + 5 = −15，与两个极值 10、−22 放在一起比较，最大值是 10，最小值是 −22；如果区间换成 [4, 6]，函数在上面单调递增，没有极值，最小值和最大值都落在端点上。

把例 1 的求导过程写进编辑器，撇号直接输入单引号，因式照原样写：

f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

例 2、例 3 只写了文字判断，可以仿照例 1 各补一张增减表：例 2 的候选点只有 −1，表分成三列；例 3 的表要从 0 开始，因为定义域不含负数。

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