导数求切线方程：在某点与过某点的区别

用导数求切线方程，先分清题目说的是「在点 P 处」还是「过点 P」。「在点 P 处」时 P 就是切点，斜率 k = f′(x₀)，直接代入点斜式 y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀)；「过点 P」时 P 只是切线经过的点，要先设切点 (t, f(t))，写出切线再让它经过 P，解出 t。两类题各有 2 道例题，过点的一类配图像示意，最后是把过点当切点的错对对照。

两种说法，两种做法

判断只看措辞，不看 P 在不在曲线上：即使 P 在曲线上，题目说「过」，也要设切点，因为可能还有别的切线经过它。

在点 P 处：P 就是切点

例 1 求 f(x) = x³ − 2x + 1 在点 P(1, 0) 处的切线方程。先核对 f(1) = 1 − 2 + 1 = 0，P 在曲线上。f′(x) = 3x² − 2，f′(1) = 1，切线为 y − 0 = 1 × (x − 1)，即 y = x − 1。

例 2 求 f(x) = x + 1/x 在 x = 2 处的切线方程。f(2) = 5/2，切点是 (2, 5/2)。f′(x) = 1 − 1/x²，f′(2) = 3/4。切线为 y − 5/2 = ¾(x − 2)，整理得 y = ¾x + 1，化成一般式是 3x − 4y + 4 = 0。代 x = 2 核对：¾ × 2 + 1 = 5/2。

两道题最后都落到同一个点斜式上；过点的一类也一样，区别只在切点是已知还是要解：

过点 P：先设切点

例 3 求过点 P(1, 1) 且与曲线 y = x³ 相切的直线方程。设切点为 (t, t³)，斜率 3t²，切线为 y − t³ = 3t²(x − t)。让它经过 P，代入 x = 1、y = 1：

1-t^3=3t^2(1-t)\ \Rightarrow\ (1-t)^2(1+2t)=0

因式分解是这类题的关键一步：先把 1 − t³ − 3t²(1 − t) 展开成 2t³ − 3t² + 1，t = 1 是它的二重根，提出 (1 − t)² 后剩下的因式是 1 + 2t。解得 t = 1 或 t = −½。t = 1 时切线为 y = 3x − 2；t = −½ 时切点是 (−½, −⅛)，斜率 ¾，切线为 y = ¾x + ¼。两条都经过 P：3 − 2 = 1，¾ + ¼ = 1。

图像上看，y = 3x − 2 在 P 处贴着曲线；y = ¾x + ¼ 在左下方的 (−½, −⅛) 处与曲线相切，再向右上延伸穿过曲线上的 P。P 在曲线上，过它的切线却有两条。

例 4 过点 P(1, −3) 作抛物线 y = x² 的切线，求切线方程。1² ≠ −3，P 不在曲线上。设切点 (t, t²)，斜率 2t，切线 y = 2tx − t²。代入 P：−3 = 2t − t²，即 t² − 2t − 3 = 0，t = 3 或 t = −1。两条切线是 y = 6x − 9 与 y = −2x − 1，切点分别为 (3, 9) 与 (−1, 1)。P 在抛物线下方（开口外侧），所以能作出两条。

把过点当切点：错对对照

例 3 如果直接求 f′(1) = 3，只能写出 y = 3x − 2，漏掉另一条。例 4 错得更明显：把 x = 1 代进 f′(x) = 2x 得斜率 2，写出 y + 3 = 2(x − 1)，即 y = 2x − 5。联立 x² = 2x − 5 得 x² − 2x + 5 = 0，判别式 4 − 20 < 0，这条直线和抛物线根本没有公共点，谈不上相切。

在编辑器里写导数，撇号直接输入 f'(x)，¾ 这类系数用符号面板「常用」页签里的分式模板；例 3 那行里的 ⇒ 输入 \Rightarrow，按空格结束命令。

遇到「过点」的题，先写「设切点为 (t, f(t))」这一句再求导。例 3 那条切点方程可以照截图录一遍，两个根分别代回，两条切线就都出来了。

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