基本不等式求最值：一正二定三相等的3个前提与例题

用基本不等式求最值，要同时满足三个前提：各项为正（一正）、和或积是定值（二定）、等号能取到（三相等）。三条都满足时，积为定值 P，和有最小值 2√P；和为定值 S，积有最大值 S²/4。依据是 a + b ≥ 2√(ab)（a > 0，b > 0），当且仅当 a = b 时取等号。下面用配凑法、常数代换各 2 道例题说明，最后给一个等号取不到的反例。

三个前提逐条检查

三条的检查顺序就是口诀的顺序。第一条决定能不能用，第二条决定用出来的是不是常数，第三条决定这个常数能不能真正取到。少查第三条最常见：算出一个漂亮的数，却没有任何 x 让等号成立。

a+b\geq 2\sqrt{ab}\quad(a>0,\ b>0)

配凑法：凑出定值

例 1 求最大值。 已知 0 < x < 3/2，求 y = x(3 − 2x) 的最大值。x 与 3 − 2x 的和是 3 − x，还会随 x 变化；把 x 乘 2，两项之和 2x + (3 − 2x) = 3 就是定值了。于是 y = ½ · 2x(3 − 2x) ≤ ½ × (3/2)² = 9/8。等号在 2x = 3 − 2x，即 x = 3/4 时成立，3/4 在 (0, 3/2) 内，三个前提都满足。

和为定值求积的最大值，用的是基本不等式的等价形式：

例 2 两项为负。 已知 x < 1，求 y = x + 4/(x − 1) 的最大值。先凑出 x − 1：y = (x − 1) + 4/(x − 1) + 1。这时 x − 1 < 0，违反了一正，要提出负号：y = −[(1 − x) + 4/(1 − x)] + 1。括号里两项都为正、积为 4，所以括号 ≥ 4，y ≤ −4 + 1 = −3。等号在 1 − x = 2，即 x = −1 时成立。

常数代换：把 1 换掉

例 3 求最小值。 已知 x > 0，y > 0，x + 2y = 1，求 1/x + 1/y 的最小值。把 1 换成 x + 2y 乘进去：(1/x + 1/y)(x + 2y) = 3 + 2y/x + x/y。后两项为正、积为 2，所以原式 ≥ 3 + 2√2。等号在 x/y = 2y/x，即 x = √2·y 时成立，与 x + 2y = 1 联立得 y = (2 − √2)/2，x = √2 − 1，都为正。

例 4 求最小值。 已知 a > 0，b > 0，1/a + 4/b = 1，求 a + b 的最小值。这次把条件里的 1 乘到 a + b 上：

(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}\right)=5+\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}\geq 5+2\sqrt{4}=9

所以最小值是 9。等号在 b/a = 4a/b，即 b = 2a 时成立，代入条件得 1/a + 2/a = 1，a = 3，b = 6。两道题的共同点是：已知条件里有一个等于 1 的式子，把它整体乘到要求的式子上，展开后出现两项互为倒数关系的分式。

反例：等号取不到

求 y = √(x² + 2) + 1/√(x² + 2) 的最小值。直接套基本不等式得 y ≥ 2，但等号要求 √(x² + 2) = 1，即 x² = −1，无解，所以 2 取不到，不是最小值。

正确做法：令 t = √(x² + 2)，则 t ≥ √2，y = t + 1/t。这个函数在 t ≥ 1 时单调递增，t 能取到的最小值是 √2（x = 0 时），所以 y 的最小值是 √2 + 1/√2 = 3√2/2，约 2.12，比 2 大。

录这类解答时，≥ 输入 \geq、根号输入 \sqrt，每个命令按空格结束；「当且仅当」这类文字放进 \text{} 里，和式子排在同一行。

取等条件是阅卷看得最细的一句。例 2 结尾「当且仅当 x = −1 时取等号」写进公式后，老师批改时能直接看到你检查过等号。

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