抽象函数：赋值法求值与证明单调性的例题

抽象函数只给出函数满足的关系式、不给具体解析式，求值和证明都靠「赋值」：给 x、y 代入 0、1、−x 这类特殊值，把要求的量从关系式里逼出来。最常用的三招是：令 x = y = 0 求 f(0)；令 y = −x 证明奇偶性；任取 x₁ < x₂，把 x₂ 拆成 (x₂ − x₁) + x₁ 证明单调性。解含 f 的不等式时还要先写定义域，漏写是这类题最常见的失分点。

赋值技巧速查

每种关系式都对应一个「样板函数」，做完题可以拿样板函数代进去核对答案。

赋值的思路是「缺什么凑什么」：要 f(0) 就让 x、y 都取 0；要 f(−x) 就让 y = −x；要 f(8) 就用已知的 f(2) 一步步乘上去。证明奇偶性前，先说一句定义域关于原点对称，这一步常被漏掉。

例 1：令 x = y = 0，求特殊值并证明奇函数

已知函数 f(x) 对任意实数 x、y 都有 f(x + y) = f(x) + f(y)，且 f(1) = −2。

1. 求 f(0)：令 x = y = 0，得 f(0) = f(0) + f(0)，所以 f(0) = 0。
2. 求 f(2)、f(3)：令 x = y = 1，得 f(2) = −4；再令 x = 2、y = 1，得 f(3) = f(2) + f(1) = −6。
3. 证明 f(x) 是奇函数：定义域是全体实数，关于原点对称；令 y = −x，得 f(0) = f(x) + f(−x)，而 f(0) = 0，所以 f(−x) = −f(x)。

这道题里的三个结论环环相扣：f(0) = 0 是第 3 问的前提，所以求值题往往先求 f(0)。遇到「对任意 x、y 都成立」的条件时，先把 0、1、−1 这几个值都试一遍，常常就找到了突破口。

用样板函数 f(x) = −2x 核对：f(0) = 0，f(3) = −6，f(−x) = 2x = −f(x)，三个结论都对得上。

例 2：用定义证明单调性，再求最值

在例 1 的条件下，再知道 x > 0 时 f(x) < 0。证明 f(x) 在 R 上是减函数，并求它在 [−3, 3] 上的最大值。

证明：任取 x₁ < x₂，则 x₂ − x₁ > 0，由条件得 f(x₂ − x₁) < 0。把 x₂ 写成 (x₂ − x₁) + x₁，用关系式展开：

f(x_2)=f\big((x_2-x_1)+x_1\big)=f(x_2-x_1)+f(x_1)<f(x_1)

所以 x₁ < x₂ 时 f(x₁) > f(x₂)，f(x) 在 R 上单调递减。减函数在区间左端点取最大值，最大值是 f(−3) = −f(3) = 6，这里用到了例 1 证出的奇函数性质。

例 3：解不等式，定义域漏写的错对对照

已知 f(x) 是定义在 (0, +∞) 上的增函数，对任意正数 x、y 有 f(xy) = f(x) + f(y)，且 f(2) = 1。解不等式 f(x) + f(x − 2) < 3。

1. 凑出 3：令 x = y = 2，得 f(4) = 2；再令 x = 4、y = 2，得 f(8) = f(4) + f(2) = 3。
2. 合并左边：f(x) + f(x − 2) = f[x(x − 2)]，这一步要求 x > 0 且 x − 2 > 0。
3. 去掉 f：f 是增函数，所以 x(x − 2) < 8，即 (x − 4)(x + 2) < 0，得 −2 < x < 4。
4. 与定义域取交集：x > 0 且 x > 2，最后得 2 < x < 4。

漏写第 2 步的定义域，答案就成了 −2 < x < 4。取其中的 x = 1 一试：x − 2 = −1，f(−1) 根本没有定义，这个 x 不可能是解。拿样板函数 f(x) = log₂x 核对：f(2) = 1，x = 3 时左边是 log₂3 ≈ 1.58，小于 3，落在 2 < x < 4 里。

抽象函数题难在每一步用的是哪条已知条件。写完回头逐行标注：凑出 3 靠 f(xy) = f(x) + f(y) 和 f(2) = 1，去掉 f 靠单调性，最后一步靠定义域，缺一处就会丢分。

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