韦达定理的应用：不解方程求对称式与参数

韦达定理的应用可以归成一句话：不解方程，直接用两根之和 x₁ + x₂ = −b/a 与两根之积 x₁x₂ = c/a，把题目要的式子改写成「和」与「积」的组合再代入。前提是方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）有两个实数根，也就是判别式 Δ = b² − 4ac ≥ 0。常考三类：求 x₁² + x₂² 这类对称式、已知两根满足的条件求参数、已知两根构造方程。

两个关系式与改写表

很多教材把这组结论叫作「一元二次方程的根与系数的关系」。它可以从因式分解看出来：方程两根是 x₁、x₂，左边就能写成 a(x − x₁)(x − x₂)，展开是 ax² − a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂。和 ax² + bx + c 逐项对比，一次项系数 b = −a(x₁ + x₂)，常数项 c = ax₁x₂，两个关系式就出来了。

两根之和带负号、两根之积不带，记混时拿 x² − 5x + 6 = 0 试一下：两根是 2 和 3，和为 5 = −(−5)/1，积为 6 = 6/1。

凡是交换 x₁、x₂ 后不变的式子（对称式），都能改写成和与积。常用的五个：

把这张表和下面的两个关系式放在一起记，做题时先写和、积两个数，再对表改写：

例 1：求对称式

方程 2x² − 6x + 1 = 0，求 x₁² + x₂²、1/x₁ + 1/x₂ 与 (x₁ − x₂)²。

先看判别式：Δ = 36 − 8 = 28 > 0，有两个不相等的实数根。再写和与积：x₁ + x₂ = 3，x₁x₂ = 1/2。代入改写表：

• x₁² + x₂² = 3² − 2 × 1/2 = 8
• 1/x₁ + 1/x₂ = 3 ÷ 1/2 = 6
• (x₁ − x₂)² = 3² − 4 × 1/2 = 7

验算：两根是 (3 ± √7)/2，平方后相加得 (9 + 7 + 9 + 7)/4 = 8，对得上。

例 2：求参数，别漏判别式

关于 x 的方程 x² − 2(k − 1)x + k² = 0 有两个实数根 x₁、x₂，且 x₁² + x₂² = 4，求 k。

1. 和与积：x₁ + x₂ = 2(k − 1)，x₁x₂ = k²。
2. 列方程：4(k − 1)² − 2k² = 4，整理得 k² − 4k = 0，k = 0 或 k = 4。
3. 查判别式：Δ = 4(k − 1)² − 4k² = 4 − 8k ≥ 0，所以 k ≤ 1/2。
4. 筛选：k = 4 舍去，答案 k = 0。

验算：k = 0 时方程是 x² + 2x = 0，两根 0 和 −2，平方和正好是 4。漏了第 3 步会把 k = 4 也写进答案，而 k = 4 时方程 x² − 6x + 16 = 0 的判别式是 36 − 64 = −28，根本没有实数根：

例 3：已知两根构造方程

以 m、n 为两根的一元二次方程可以写成 x² − (m + n)x + mn = 0。求一个方程，使它的两根是例 1 两根的倒数。

两根之和 1/x₁ + 1/x₂ = 6（例 1 已算），两根之积 1/(x₁x₂) = 1 ÷ 1/2 = 2，所以所求方程是 x² − 6x + 2 = 0。验算：它的两根是 3 ± √7，而 2/(3 + √7) = 3 − √7，确实是例 1 一个根的倒数。

同样的思路也能「已知一根求另一根」：方程 x² + mx − 6 = 0 有一根是 2，两根之积是 −6，另一根就是 −3，再由两根之和 −1 = −m 得 m = 1。

把推导写进编辑器

整理例题时，下标写 x_1；平方在编辑区里敲 ^ 再敲 2，输完 2 会自动退出上标。分式可以用底部符号面板「常用」页签里的分式模板：插入后按 Tab 依次跳到下一个待填的空格子（分子 → 分母），已填内容的格子会被跳过；没有空格子时 Tab 先退出当前这一层，在最外层才离开编辑区。例 1 第一问写成一行是：

x_1^{2}+x_2^{2}=(x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2=3^{2}-2\times\frac{1}{2}=8

例 2 的四步里，第 3 步那行「k ≤ 1/2」是整道题的得分点。录题时把它单独排成一行，放在求出 k = 0 或 4 之后，讲的时候学生最容易记住「先筛再答」。

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