完全平方公式变形：a²+b²与ab的4个常用式

完全平方公式变形只抓一件事：(a + b)² 和 (a − b)² 展开后，都比 a² + b² 多出或少了一个 2ab。由此得到 4 个常用式：① a² + b² = (a + b)² − 2ab；② a² + b² = (a − b)² + 2ab；③ (a − b)² = (a + b)² − 4ab；④ ab = [(a + b)² − (a − b)²] ÷ 4。题目只要给出 a + b、a − b、ab、a² + b² 里的两个，就能求出其余几个（开平方求 a + b 或 a − b 时可能有正负两个值）。

拼图看出 2ab 从哪来

画一个边长为 a + b 的正方形，横竖各在 a 处切一刀，就分成四块：左下是边长 a 的正方形，面积 a²；右上是边长 b 的正方形，面积 b²；剩下两块都是长 a、宽 b 的长方形，面积各为 ab。四块加起来：(a + b)² = a² + 2ab + b²。

把两块 ab 拿走，剩下的就是 a² + b²，这就是式 ①。式 ③ 要换一种拼法：拿四块长 a、宽 b 的长方形首尾相接绕成「回」字形，外框是边长 a + b 的大正方形，中间空出一个边长 a − b 的小正方形，所以 (a − b)² = (a + b)² − 4ab。

不画图也能推出来：(a + b)² = a² + 2ab + b²，(a − b)² = a² − 2ab + b²。前一式移项得式 ①，后一式移项得式 ②；两式相减，a² + b² 抵消，剩下 (a + b)² − (a − b)² = 4ab，移项是式 ③，两边除以 4 是式 ④。

下图按 a = 3、b = 2 画，大正方形面积 25 = 9 + 6 + 6 + 4。

4 个式子速查

式 ① ② 是一对：从和出发减 2ab，从差出发加 2ab。式 ③ 联系和与差，差值是 4ab 而不是 2ab。式 ④ 由式 ③ 移项得到，已知和与差求积时用它。

做题时先看题目给了哪两个量、要求哪一个，再挑式子：给和与积用 ①、③；给差与积用 ②；给和与差用 ④。四个式子里的 a、b 可以换成任何代数式，比如 x 与 1/x、2m 与 3n，照样成立。

三道整式求值例题

例 1 已知 a + b = 5，ab = 3，求 a² + b² 与 (a − b)²。 用式 ①：a² + b² = 5² − 2 × 3 = 19；用式 ③：(a − b)² = 5² − 4 × 3 = 13。验算：a、b 是方程 t² − 5t + 3 = 0 的两根 (5 ± √13)/2，平方和算出来正是 19。

例 2 已知 a − b = 3，ab = 2，求 a² + b² 与 a + b。 用式 ②：a² + b² = 3² + 2 × 2 = 13；再由式 ③ 反过来，(a + b)² = 3² + 4 × 2 = 17，所以 a + b = ±√17。

例 3 已知 x + 1/x = 3，求 x² + 1/x²。 把 x 和 1/x 看成 a 和 b，它们的积是 1，于是 x² + 1/x² = 3² − 2 × 1 = 7。同一招再用一次：x⁴ + 1/x⁴ = 7² − 2 = 47。

中间项漏 2 倍：错对对照

最常见的错，是把 (a + b)² 展开成 a² + ab + b²，中间项少了一个 ab。例 1 按这个错式算，a² + b² = 25 − 3 = 22，比正确答案 19 多了 3。另一种错是直接写 (a + b)² = a² + b²，整项 2ab 都丢了，得到 25。

检验办法很简单：取 a = 3、b = 2 代进去，(3 + 2)² = 25，而错式给出 9 + 6 + 4 = 19，差出来的 6 正好是漏掉的那个 ab；正确展开是 9 + 12 + 4 = 25。

在本站编辑器里写这类推导，平方在编辑区里敲 ^ 再敲 2，输完 2 会自动退出上标，接着打减号即可。例 1 第一问整行是：

a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=5^{2}-2\times3=19

三道例题里用得最多的是式 ①（例 1、例 3 都靠它），它把「已知和与积求平方和」变成一步减法。复习时可以只背式 ①，另外三个都当成练习，从拼图里自己推一遍。

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