三角函数公式表：和差角、倍角与半角
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三角函数公式表看着有二十来条，真正要记的只有两条：sin(α + β) 与 cos(α + β) 的和角公式。把 β 换成 −β 得到差角公式，令 β = α 得到倍角公式，把倍角公式反解出来就是降幂与半角公式，两条和差角公式相加减就是积化和差。下面先给全表并注明每条从哪条推出，再用 15°、75° 这些能查表的角逐组验算。
公式表：和差角、倍角、半角与积化和差
| 类别 | 公式 | 由哪条推出 |
|---|---|---|
| 和角 | sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β | 基本式 |
| 差角 | sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β | β 换成 −β |
| 和角 | cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β | 基本式 |
| 差角 | cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β | β 换成 −β |
| 和差角 | tan(α ± β) = (tan α ± tan β) ÷ (1 ∓ tan α tan β) | 正弦式除以余弦式 |
| 倍角 | sin 2α = 2 sin α cos α | 和角式令 β = α |
| 倍角 | cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α | 同上，再用平方关系 |
| 倍角 | tan 2α = 2 tan α ÷ (1 − tan²α) | 和角正切令 β = α |
| 降幂 | sin²α = (1 − cos 2α) ÷ 2，cos²α = (1 + cos 2α) ÷ 2 | cos 2α 的两种形式移项 |
| 半角 | sin(α/2) = ±√[(1 − cos α) ÷ 2] | 降幂式里 α 换成 α/2 |
| 半角 | cos(α/2) = ±√[(1 + cos α) ÷ 2] | 同上 |
| 半角 | tan(α/2) = (1 − cos α) ÷ sin α = sin α ÷ (1 + cos α) | 分子分母同乘后化简 |
| 积化和差 | sin α cos β = ½[sin(α + β) + sin(α − β)] | 两条正弦和差式相加 |
| 积化和差 | cos α sin β = ½[sin(α + β) − sin(α − β)] | 两条正弦和差式相减 |
| 积化和差 | cos α cos β = ½[cos(α + β) + cos(α − β)] | 两条余弦和差式相加 |
| 积化和差 | sin α sin β = −½[cos(α + β) − cos(α − β)] | 两条余弦和差式相减 |
| 和差化积 | sin θ + sin φ = 2 sin[(θ + φ)/2] cos[(θ − φ)/2] | 积化和差反过来用 |
| 和差化积 | cos θ − cos φ = −2 sin[(θ + φ)/2] sin[(θ − φ)/2] | 同上 |
半角正弦、余弦前的 ± 由 α/2 所在象限决定；半角正切的两种分式形式已经带好符号，不用再判断正负。记不准某一条时，取 α = 0.7、β = 0.3（弧度）代入两边，用计算器算一下是否相等。
用 15°、75° 逐组验算
差角：sin 15°。 15° = 45° − 30°，代入差角正弦：
\sin15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
数值约 0.2588，与计算器给出的 sin 15° 一致。因为 75° 与 15° 互余，cos 75° 也等于这个值。
半角：tan 15°。 把 15° 看成 30° 的一半，用不带 ± 的那种形式：tan 15° = (1 − cos 30°) ÷ sin 30° = (1 − √3/2) ÷ ½ = 2 − √3，约 0.2679。
积化和差：sin 75° cos 15°。 代入第一条：½[sin 90° + sin 60°] = ½(1 + √3/2) = (2 + √3)/4，约 0.9330；直接相乘 0.9659 × 0.9659 也是 0.9330。
例题：先定象限再用倍角与半角
已知 sin α = 3/5，α ∈ (π/2, π)，求 sin 2α、cos 2α、tan(α/2) 和 cos(α/2)。
- 先求 cos α。 第二象限余弦为负，cos α = −√(1 − 9/25) = −4/5。
- 倍角。 sin 2α = 2 × 3/5 × (−4/5) = −24/25；cos 2α = 1 − 2 × 9/25 = 7/25。
- 半角正切。 tan(α/2) = (1 − cos α) ÷ sin α = (1 + 4/5) ÷ (3/5) = 3。
- 半角余弦定号。 α 在 (π/2, π)，α/2 在 (π/4, π/2)，第一象限取正：cos(α/2) = √[(1 − 4/5) ÷ 2] = √10/10。
验算：sin²2α + cos²2α = 576/625 + 49/625 = 1；由 tan(α/2) = 3 反推 cos α = (1 − 9)/(1 + 9) = −4/5，与第 1 步一致。
常见错误
- 余弦和角的符号。 cos(α + β) 中间是减号，cos(α − β) 中间是加号，和正弦恰好相反。
- 正切分母的 ∓。 tan(α + β) 的分母是 1 − tan α tan β，符号与分子相反。
- 半角定号看错角。 定号看 α/2 所在象限，上面的例题里 α 在 (π/2, π)，α/2 却在 (π/4, π/2)，是第一象限。
- 积化和差漏负号。 sin α sin β 那一条前面带 −½，拿 α = β = 30° 代一下就能查出来：左边 ¼，右边 −½(cos 60° − 1) = ¼。
把公式表排进复习笔记
编辑器里打 \sin、\cos 时函数名随打随显，按空格结束命令接着写角；分式用 \frac，度数写 ^\circ。底部符号面板「函数」页签有现成的三角函数按钮。整组倍角公式也可以在公式大全的「三角函数」分类里点「插入」载入再改。
复习时按「和角 → 差角 → 倍角 → 半角 → 积化和差」的顺序默写一遍，每写一条就用上面的 15° 数值对一次。要把几条公式放进 Markdown 笔记，独立公式单独成段的写法见Markdown 公式换行。
sin 15° 拆成 60° − 45° 再算一遍，结果仍是 (√6 − √2)/4；两条路殊途同归，差角公式才算真正记住了。
延伸阅读
常见问题
- 怎么记倍角公式？
- 只记正弦与余弦的和角公式，把两个角都换成同一个角 α，正弦得到二倍角正弦，余弦得到余弦平方减正弦平方。再用正弦平方加余弦平方等于一，把它改写成只含余弦或只含正弦的两种形式。正切的二倍角由和角正切令两角相等得到。每写完一条，拿三十度代进去和六十度的值对一遍，写错马上能发现。