诱导公式口诀：奇变偶不变、符号看象限怎么用

诱导公式口诀「奇变偶不变，符号看象限」的用法是：先把角写成 k · π/2 ± α 的形式；k 是奇数时，正弦变余弦、余弦变正弦，k 是偶数时函数名不变；再把 α 当作锐角，看 k · π/2 ± α 落在第几象限，用原来那个函数在该象限的符号作为结果的正负号。按这四步走，形如 π ± α、3π/2 ± α、2π − α 的三角函数都能化成 α 的三角函数。

四步用法

1. 改写：把角写成 k · π/2 ± α，k 是整数。π + α 写成 2 · π/2 + α，k = 2；3π/2 − α 的 k = 3。
2. 定名：k 为奇数，sin 与 cos 互换；k 为偶数，函数名不变。
3. 定象限：把 α 看成锐角，判断 k · π/2 ± α 在哪个象限。
4. 定号：看原函数在这个象限是正还是负，把符号写在变名后的结果前面。

口诀里的「奇」「偶」说的是 π/2 的倍数 k，不是 π 的倍数。π + α 里的 π 是两个 π/2，所以 k = 2 是偶数，sin(π + α) 仍是正弦，这一处最容易看错。同理，2π 是四个 π/2，k = 4。

「符号看象限」只是借用 α 为锐角来判断符号，化简结果对任意角 α 都成立。象限符号可以记「一全正、二正弦、三正切、四余弦」，即各象限里取正值的函数。下面这张单位圆示意图，把 α 取成 30°，从 3π/2 的位置再逆时针转过 α，终边落在第四象限。

常用的几组

把 k 从 0 到 4 的情形列在一张表里，每一组都能用上面四步推出来：

表里没有列正切在 k 为奇数时的情形：那时结果是 1/tan α 或 −1/tan α 这样的倒数形式，例如 tan(π/2 + α) = −1/tan α。遇到这类题，先把正切写成正弦与余弦的商，再对分子、分母分别用四步，更不容易出错。

四道化简例题

例 1 化简 cos(3π/2 + α)。k = 3 是奇数，余弦变正弦；α 为锐角时 3π/2 + α 在第四象限，余弦在第四象限为正。结果是 sin α。

例 2 化简 sin(3π/2 − α)。k = 3，正弦变余弦；3π/2 − α 在第三象限，正弦为负。结果是 −cos α。

例 3 化简 cos(α − 3π/2)。这个角写成 −3π/2 + α，k = −3 仍是奇数，余弦变正弦。α 为锐角时它在 −270° 到 −180° 之间，与第二象限的角终边相同，余弦为负，结果是 −sin α。也可以先用 cos(−x) = cos x 化成 cos(3π/2 − α)，结果一样。

例 4 化简下面这个式子（tan α ≠ 0）：

\frac{\sin(\pi+\alpha)\cos(-\alpha)}{\tan(\pi-\alpha)}

分子 sin(π + α) = −sin α，cos(−α) = cos α；分母 tan(π − α) = −tan α。原式 = (−sin α cos α) ÷ (−tan α) = cos α · cos α = cos²α。取 α = π/6 代回验算：原式 = (−1/2 × √3/2) ÷ (−√3/3) = 3/4，cos²(π/6) 也是 3/4。

三个常见误区

1. 按变名后的函数定号。例 1 若看正弦在第四象限为负，会写成 −sin α，定号必须看原函数余弦。
2. 以为 α 必须是锐角。锐角只是判断符号时的假设，化简结果对任意 α 都适用。
3. 把 π 当成「奇数倍」。π ± α 的 k 是 2，函数名不变，sin(π − α) = sin α。

在编辑器里录化简过程，π 和 α 输入 \pi、\alpha，按空格结束命令；分式用分式模板或 \frac{}{}，写 3π/2 这类系数时分子写 3\pi。

口诀只有十个字，错多出在第一步改写：α 写在前面、k 取负数、把 π 当成奇数倍，后三步都会跟着错。先排成「整数个 π/2 ± α」再往下走。

延伸阅读

• 高中数学解题方法：数列、三角、解三角形、圆锥曲线与概率五块题型的解法与例题
• 全部教程文章：按「使用技巧 / 常见问题 / 资讯动态」分类的文章列表