裂项相消法：5种常见裂项式与数列求和
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裂项相消法是把通项拆成「某一项减去后面某一项」的形式，求和时中间的项正负抵消，只剩首尾几项。用它之前先做两件事：写出裂项式后代入 n = 1 检验系数，再数清裂开的两部分下标相差几，相差几，首尾就各剩几项。下面整理 5 种常见裂项式、3 道求和例题，以及裂项漏乘系数的错对对照。
5 种常见裂项式
| 序号 | 通项 | 裂成 | 下标相差 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1/[n(n+1)] | 1/n − 1/(n+1) | 1 |
| 2 | 1/[n(n+k)] | (1/k)·[1/n − 1/(n+k)] | k |
| 3 | 1/[(2n−1)(2n+1)] | ½·[1/(2n−1) − 1/(2n+1)] | 相邻两个奇数 |
| 4 | 1/(√n + √(n+1)) | √(n+1) − √n | 1 |
| 5 | 1/[n(n+1)(n+2)] | ½·[1/(n(n+1)) − 1/((n+1)(n+2))] | 1 |
系数从哪里来，有一条统一的规律：前面乘的数等于「两个因式之差」的倒数。第 2 种里 (n+k) − n = k，所以乘 1/k；第 3 种里 (2n+1) − (2n−1) = 2，所以乘 ½；第 5 种两个分式相减会得到 2/[n(n+1)(n+2)]，所以也乘 ½。第 4 种不需要系数，它是分母有理化：分子分母同乘 √(n+1) − √n，分母变成 1。
每种都可以代 n = 1 自查。第 1 种：½ = 1 − ½；第 5 种：1/6 = ½ × (½ − 1/6)。两边相等，系数才算对。
拿到一个通项，先看分母的形状来选式子：两个一次因式相乘，且它们的差是常数，用第 1、2、3 种；分母是两个根式之和，用第 4 种；三个连续整数相乘，用第 5 种。分子如果不是 1，比如 2/[n(n+1)]，先把分子的 2 提到求和号外面，再套第 1 种。
三道求和例题：剩下哪几项
例 1 相邻奇数（第 3 种）。 求 Sₙ = 1/(1·3) + 1/(3·5) + … + 1/[(2n−1)(2n+1)]。裂开后是 ½ 乘以 (1 − 1/3) + (1/3 − 1/5) + … + (1/(2n−1) − 1/(2n+1))。每个 −1/(2k+1) 都和下一组的 +1/(2k+1) 抵消，下标相差 1，只剩首项 1 和末项 −1/(2n+1)。所以 Sₙ = ½ × (1 − 1/(2n+1)) = n/(2n+1)。代 n = 1 得 1/3，与第一项相同。
例 2 下标相差 2（第 2 种，k = 2）。 求 Tₙ = 1/(1·3) + 1/(2·4) + … + 1/[n(n+2)]。每项裂成 ½ × (1/k − 1/(k+2))，−1/3 要等到第 3 组的 +1/3 才抵消。下标相差 2，前面剩 1 和 ½，后面剩 −1/(n+1) 和 −1/(n+2)：
T_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)
化简后 Tₙ = 3/4 − (2n+3)/[2(n+1)(n+2)]。代 n = 2 核对：直接相加 1/3 + 1/8 = 11/24，公式给出 3/4 − 7/24 = 11/24，一致。
例 3 根式（第 4 种）。 求 1/(1+√2) + 1/(√2+√3) + … + 1/(√99+√100)，共 99 项。每项有理化成 √(k+1) − √k，加起来是 (√2 − 1) + (√3 − √2) + … + (√100 − √99)，中间全部抵消，只剩 √100 − 1 = 10 − 1 = 9。
三道题放在一起看剩项：例 1、例 3 的下标相差 1，首尾各剩一项；例 2 相差 2，首尾各剩两项。求和结果里剩几项，是检查裂项是否正确的第二道关。
裂项漏乘系数：错对对照
最常见的错是把第 3 种写成 1/[(2n−1)(2n+1)] = 1/(2n−1) − 1/(2n+1)，漏了前面的 ½。代 n = 1 马上能发现：左边是 1/3，右边是 1 − 1/3 = 2/3，正好大了一倍。例 1 如果漏乘，最后会得到 2n/(2n+1)。
另外两处也常出错：
- 首尾剩项数错。例 2 下标相差 2，只留下 1 和 −1/(n+2) 就少了两项。
- 根式有理化方向写反。1/(√k + √(k+1)) 等于 √(k+1) − √k，大的在前；写成 √k − √(k+1)，结果会差一个负号。
在编辑器里写求和式，输入 \sum 后按空格结束命令，上下限写成 \sum_{k=1}^{n}；根号用 \sqrt{}，例 3 的第 k 项写成 \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}。
系数对不对，代 n = 1 就能验。建议把裂项式和这条验算等式一起放进文档编辑的同一页，左右两个分数相等再去数剩余项，漏乘 ½ 这种错交作业前就被拦下了。
延伸阅读
常见问题
- 怎么判断首尾各剩几项？
- 看裂开后两部分的下标相差几。相差一，前面剩第一项、后面剩最后一项；相差二，前面剩前两项、后面剩最后两项，依此类推。拿不准时把前三组和后三组都写出来，把能抵消的划掉，剩下的就是结果里要保留的项。