错位相减法：等差乘等比数列求和的4步
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错位相减法用来求「等差数列 × 等比数列」这类数列的前 n 项和，固定四步：写出和式 Sₙ，两边同乘公比 q，把两式错开一位相减，最后整理出 Sₙ。相减以后，中间一段变成等比数列求和，而首项和末项要单独处理，这是最容易丢分的两个位置。下面用 2 道例题把四步走完，并列出符号出错的对照。
四步分别做什么
第一步，写和式。把 Sₙ 的前三项和最后一项写出来，中间用省略号。每一项都写成「等差部分 × 等比部分」，比如 5·3³，别先算成 135，否则后面看不出错位。
第二步，乘公比。两边同乘等比部分的公比 q，每一项的指数加 1。写的时候整体向右错开一位，让同次幂上下对齐：上式的第 2 项和下式的第 1 项对齐，依此类推。
第三步，错位相减。用上式减下式。对齐的项两两相减，等差部分的差恰好是公差 d，于是中间变成 d 乘一段等比数列；上式的首项没有对手，原样留下；下式多出来的末项没有对手，要整项减掉。
第四步，整理。先用等比数列求和公式算中间一段，再把首项和末项合并，最后两边除以 1 − q。
例 1：公比是 3
求 Sₙ = 1·3 + 3·3² + 5·3³ + … + (2n−1)·3ⁿ。等差部分是 2n − 1，公差 2；等比部分是 3ⁿ，公比 3。
两边乘 3，错开一位写：3Sₙ = 1·3² + 3·3³ + … + (2n−3)·3ⁿ + (2n−1)·3ⁿ⁺¹。
上式减下式，左边是 Sₙ − 3Sₙ = −2Sₙ。右边：首项 1·3 = 3 单独留下；3² 到 3ⁿ 每一列都是「多 2 倍」，得到 2 乘一段等比数列，共 n − 1 项；末项 (2n−1)·3ⁿ⁺¹ 整项减掉。四步排在一起是这样：
中间一段 3² + 3³ + … + 3ⁿ = (3ⁿ⁺¹ − 9)/2，代回得 −2Sₙ = 3 + 3ⁿ⁺¹ − 9 − (2n−1)·3ⁿ⁺¹ = −6 − (2n−2)·3ⁿ⁺¹，两边除以 −2：
S_n=(n-1)\cdot 3^{n+1}+3
代 n = 1 得 3，代 n = 2 得 27 + 3 = 30，与直接相加 3 + 27 = 30 一致。
例 2：公比是 ½
求 Tₙ = 1/2 + 2/2² + 3/2³ + … + n/2ⁿ。等差部分是 n，等比部分是 (½)ⁿ，所以两边乘 ½：½Tₙ = 1/2² + 2/2³ + … + (n−1)/2ⁿ + n/2ⁿ⁺¹。
相减得 ½Tₙ = 1/2 + 1/2² + … + 1/2ⁿ − n/2ⁿ⁺¹。这一次首项 1/2 的系数恰好也是 1，能并进等比那一段，所以等比段是 n 项，和为 1 − 1/2ⁿ。于是 ½Tₙ = 1 − 1/2ⁿ − n/2ⁿ⁺¹，两边乘 2 得 Tₙ = 2 − (n+2)/2ⁿ。
代 n = 3 核对：1/2 + 2/4 + 3/8 = 11/8，公式给出 2 − 5/8 = 11/8。两道题放在一起看，等比段是 n − 1 项还是 n 项，取决于首项能不能并进去，数项数前先看一眼首项。公比在 0 和 1 之间时，相减后左边的系数 1 − q 是正数（例 2 是 ½），不像例 1 那样出现负号，这一点也可以用来检查。
符号出错对照
| 位置 | 常见错写 | 正确写法 |
|---|---|---|
| 左边 | 写成 2Sₙ | 上式减下式，Sₙ − 3Sₙ = −2Sₙ |
| 末项 | + (2n−1)·3ⁿ⁺¹ | − (2n−1)·3ⁿ⁺¹ |
| 等比段项数 | 当成 n 项 | 3² 到 3ⁿ，共 n − 1 项 |
| 最后一步 | 两边除以 2 | 两边除以 −2 |
四处里任何一处出错，结果都对不上 n = 1、n = 2 的检验值。所以最后一步写完，花半分钟代两个小数值进去，比从头重算快得多。
在编辑器里录这类推导，指数写成 3^{n+1}，省略号用 \cdots；上下两式要对齐时，可以分两条公式逐行写，每行只放一个等式。
交作业前，把 Sₙ、Tₙ 两个结果连同 n = 2、n = 3 的检验值抄进「文档编辑」页签，推导和核对放在同一页，老师和你自己都能顺着看下去。
延伸阅读
常见问题
- 公比是字母时要讨论吗？
- 要讨论。相减之后中间那一段要用等比数列求和公式，公式的分母是一减公比，公比等于一时分母为零，公式用不了。所以先单独算公比等于一的情形，这时每一项只剩等差部分，按等差数列求和；公比不等于一时再走四步。