过点的切线方程：设切点列方程的高考题型

求过点的切线方程，统一用设切点三步：设切点 (t, f(t))，写出这点的切线 y − f(t) = f′(t)(x − t)，再把题目给的条件代进去，得到关于 t 的方程。t 解出几个，就有几条切线；题目问「能作几条切线」时，问题就变成这个方程有几个根。公切线题是同一个模板用两次：两条曲线各设一个切点，让两条切线重合。

设切点三步模板

高考里这类题有三种问法，模板相同，第三步代入的条件不同：

第一步设切点时，横坐标用一个新字母 t，纵坐标直接写成 f(t)，别另设一个 y₀：少一个未知数，后面少一个方程。第二步只需要 f′(t)，也就是切点处的斜率。第三步是整道题的分水岭，前两步每道题都一样，写熟以后几乎不占时间。

「在点 P 处」与「过点 P」的区别见延伸阅读里的「导数求切线方程」一篇，那里有两类例题对照；题目写「过」，即使 P 恰好在曲线上，也要按三步来，因为可能还有别的切点。

模板的核心是第二步那条切线方程，写成公式如下：

三道题逐步解析

例 1（过曲线外一点） 求过点 P(1, 0) 且与曲线 y = eˣ 相切的直线方程。

• 设切点 (t, eᵗ)，斜率 eᵗ；
• 切线 y − eᵗ = eᵗ(x − t)；
• 代入 P：0 − eᵗ = eᵗ(1 − t)，两边除以 eᵗ（它恒为正）得 −1 = 1 − t，t = 2。

切点 (2, e²)，切线为 y = e²x − e²。代回 x = 1 得 y = 0，确实经过 P。

例 2（切线条数与参数） 过点 A(1, m) 能作曲线 f(x) = x³ − 3x 的三条切线，求 m 的取值范围。

设切点 (t, t³ − 3t)，斜率 3t² − 3，切线 y = (3t² − 3)(x − t) + t³ − 3t。代入 x = 1、y = m，展开整理得：

m=-2t^3+3t^2-3

三条切线对应三个不同的切点，所以要让这个关于 t 的方程有三个不同实根。记 g(t) = −2t³ + 3t² − 3，g′(t) = 6t(1 − t)，极小值 g(0) = −3，极大值 g(1) = −2。直线 y = m 与 g(t) 的图像有三个交点，当且仅当 −3 < m < −2。取 m = −2.5 核对，g(t) = −2.5 在 (−1, 0)、(0, 1)、(1, 2) 内各有一个根，共三个。

例 3（公切线） 求曲线 y = x² 与 y = −(x − 2)² 的公切线方程。

• 在 y = x² 上设切点横坐标 a，切线 y = 2ax − a²；
• 在 y = −(x − 2)² 上设切点横坐标 b，斜率 −2b + 4，切线整理为 y = (4 − 2b)x + b² − 4；
• 两条切线重合：2a = 4 − 2b，−a² = b² − 4。

由第一式 a = 2 − b，代入第二式得 2b² − 4b = 0，b = 0 或 b = 2。b = 0 时 a = 2，公切线 y = 4x − 4；b = 2 时 a = 0，公切线 y = 0。两条都可以核对：y = 4x − 4 在 x = 2 处与 y = x² 相切（切点 (2, 4)），在 x = 0 处与第二条曲线相切（切点 (0, −4)）。

三处常见失分

• 把 P 当切点。 例 1 若直接求 f′(1) = e，写出的 y = e(x − 1) 和曲线 y = eˣ 没有公共点，更谈不上相切。
• 例 2 只写三个根的「存在」。 要写出 g(t) 的单调区间、两个极值，再说明 m 夹在两个极值之间，阅卷看的是这一段。
• 公切线只联立一条曲线。 设了 a 就去和第二条曲线联立判别式，碰到 y = eˣ、y = ln x 这类曲线就列不出来；两个切点都设，才是通用做法。

整理这类题的讲义时，三步模板可以做成一行固定格式，每道题只换第三步：

y-f(t)=f'(t)(x-t)\ \Rightarrow\ \text{代入条件，解关于 }t\text{ 的方程}

本站编辑器只负责把推导排整齐，t 的值要自己算。例 2 那条 m = −2t³ + 3t² − 3 连同两个极值录进编辑器，就是一张可以直接投到课件上的板书。

延伸阅读

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