直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式互化

直线方程的几种形式一共五种：点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式。前四种各有使用条件，点斜式、斜截式要求斜率存在，两点式要求两点横、纵坐标都不相同，截距式要求两个截距都存在且不为零；只有一般式 Ax + By + C = 0（A、B 不同时为零）能表示平面上所有的直线。做题时按已知条件挑一种列方程，最后统一化成一般式作答。

五种形式与适用条件

表格最后一列是考试最爱挖坑的地方。点斜式和斜截式是一回事：斜截式就是点取在 y 轴上 (0, b) 的点斜式。两点式其实是先用两点求斜率，再代点斜式，所以它继承了点斜式的限制，还多了一条：两点纵坐标相同时分母 y₂ − y₁ 为零。

截距式最容易出错。「截距」是直线与坐标轴交点的坐标，可以是负数，和「距离」不同。过原点的直线两个截距都是 0，分母为零，截距式写不出来。

同一条直线的点斜式、斜截式、截距式和一般式摆在一起，互化关系就很清楚：

互化例题

例 1 已知 A(2, 1)、B(−1, 7)，写出直线 AB 的五种形式。

斜率 k = (7 − 1)/(−1 − 2) = −2。

• 点斜式（取点 A）：y − 1 = −2(x − 2)；
• 斜截式：展开得 y = −2x + 5，纵截距 5；
• 两点式：(y − 1)/(7 − 1) = (x − 2)/(−1 − 2)；
• 截距式：令 y = 0 得横截距 5/2，所以 x/(5/2) + y/5 = 1；
• 一般式：2x + y − 5 = 0。

代点 B 核对一般式：2 × (−1) + 7 − 5 = 0，成立。

例 2（斜率不存在） 求过点 P(3, −2) 且垂直于 x 轴的直线方程。

这条直线是竖直线，斜率不存在，点斜式用不了。直线上每个点的横坐标都是 3，方程为 x = 3，一般式写作 x − 3 = 0。这是「设点斜式」前必须先单独讨论的情况：题目只说「过点 P」而没给斜率时，先写出 x = x₀ 这一条，再设 y − y₀ = k(x − x₀)。

例 3（截距相等） 求过点 (2, 3) 且在两坐标轴上截距相等的直线方程。

分两种情况。截距都为 0 时直线过原点，斜率 3/2，方程 y = (3/2)x，即 3x − 2y = 0。截距都为 a（a ≠ 0）时设 x/a + y/a = 1，代入 (2, 3) 得 a = 5，方程 x + y − 5 = 0。答案是两条直线。

三个常见错误

• 设了点斜式，漏掉竖直线。 例 2 这类题如果直接设 y + 2 = k(x − 3)，永远得不到 x = 3。
• 截距当距离。 例 1 的横截距是 5/2，若直线交 x 轴于负半轴，截距就是负数，不能写成绝对值。
• 截距相等只算一条。 例 3 常见只写出 x + y − 5 = 0 一条，忘了过原点时截距式失效，要单独讨论。

整理讲义时，两点式的两个分式最容易排乱。下面这段在编辑器中打开就是排好的例 1 两点式，把坐标换成练习题里的数即可：

\frac{y-1}{7-1}=\frac{x-2}{-1-2}

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