盈亏问题：一盈一亏与两盈两亏的公式

盈亏问题按两次分配的结果分四种，人数都等于「两次分配总数之差 ÷ 两次每人分得数之差」：一盈一亏时差是盈 + 亏，两次都盈时差是大盈 − 小盈，两次都亏时差是大亏 − 小亏，有一次刚好分完时差就是另一次的盈或亏。算出人数，再用任意一种分法求物品总数。下面每种情况配 1 道例题，共 4 道，并用线段图说明份数差从哪里来。

四种情况与公式速查

把第一次每人分 p 个、第二次每人分 q 个（q 比 p 大），人数记作 n：

四行其实是一条道理：每人多分 q − p 个，n 个人就多用 n × (q − p) 个，这个数必须等于两次结果之间的总差。表里「分子」就是在把总差算出来，只是盈亏的方向不同，才有时加、有时减。

一盈一亏：线段图看份数差

例 1 分苹果，每人 4 个多 9 个，每人 6 个少 7 个。有几人、几个苹果？

第一次剩 9 个，第二次还缺 7 个，两次分法用的苹果一共差 9 + 7 = 16 个；每人多分 6 − 4 = 2 个，所以人数是 16 ÷ 2 = 8 人。苹果 4 × 8 + 9 = 41 个，用第二种分法核对：6 × 8 − 7 = 41。

图里下面那条比苹果总数长出一截虚线，就是「少 7」；上面那条里分掉的 32 个比总数少 9，就是「多 9」。两条的差 16 = 8 人 × 2 个，人数就是这么来的。

另外三种各一道

例 2 两次都盈。 发练习本，每人 3 本多 22 本，每人 5 本多 4 本。两次都有剩，剩的差 22 − 4 = 18 本，每人多发 2 本，人数 18 ÷ 2 = 9 人，练习本 3 × 9 + 22 = 49 本；核对 5 × 9 + 4 = 49。

例 3 两次都亏。 植树，每人栽 6 棵还差 10 棵，每人栽 8 棵还差 26 棵。两次都不够，缺口的差 26 − 10 = 16 棵，每人多栽 2 棵，人数 16 ÷ 2 = 8 人，树苗 6 × 8 − 10 = 38 棵；核对 8 × 8 − 26 = 38。

例 4 一次刚好。 分糖，每人 5 块多 18 块，每人 8 块正好分完。差就是 18 块，每人多分 3 块，人数 18 ÷ 3 = 6 人，糖 8 × 6 = 48 块；核对 5 × 6 + 18 = 48。把「正好分完」看成盈 0 块，套进一盈一亏的式子是 (18 + 0) ÷ 3，结果一样。

上图是例 3：两条都比树苗总数长，长出的虚线就是缺口。四道题的列式排成一张表，最能看出「加还是减」只取决于盈亏在不在同一边：

两处常见错

• 两亏写成相加。 例 3 若写 (10 + 26) ÷ 2 = 18 人，树苗 6 × 18 − 10 = 98 棵，用第二种分法 8 × 18 − 26 = 118 棵，两个总数不相等，马上露馅，说明方法用错了。
• 总数用错了符号。 求出人数后，「多」要加、「少」要减；例 1 写成 4 × 8 − 9 = 23，第二种分法却是 41，同样用两种分法一核就能发现。

四道题的算式在编辑器里写成一列，适合贴在错题本上对照：

\begin{aligned}(9+7)\div(6-4)&=8\\(22-4)\div(5-3)&=9\\(26-10)\div(8-6)&=8\\18\div(8-5)&=6\end{aligned}

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