和倍问题：以小数为1份画线段图求解

和倍问题是已知两个数的和，以及大数是小数的几倍，求这两个数。做法是把小数看作 1 份，大数就是倍数那么多份，两个数合起来是（倍数 + 1）份，于是：1 份 = 和 ÷（倍数 + 1），这就是小数；大数 = 小数 × 倍数。画线段图时，小数画 1 段，大数画同样长的几段，右边用大括号括住两条线段、标上和。

公式速查

「以小数为 1 份」不是硬性规定，选哪个数作 1 份都能做，但选最小的那个，其余的数都是整数份，算式最简单。

读题时先找两个条件：一个是「一共」「合起来」「总和」给出的和，一个是「是……的几倍」给出的倍数关系。倍数关系有时反过来说，比如「梨树的棵数是桃树的五分之一」，意思和「桃树是梨树的 5 倍」一样，先把它改写成「大数是小数的几倍」再画图。

画线段图分三步：先画小数，长度随意，下面标「1 份」；再在下方画大数，用和小数一样长的段落画出倍数那么多段；最后在两条线段右侧画一个大括号，标出和。图画对了，份数和就能直接数出来。

例题示范：3 道题一步一步写

例 1 两个数。 果园里桃树和梨树共 138 棵，桃树的棵数是梨树的 5 倍。桃树、梨树各多少棵？

梨树少，看作 1 份，桃树是 5 份，共 5 + 1 = 6 份。1 份：138 ÷ 6 = 23 棵，这是梨树；桃树 23 × 5 = 115 棵。验算：23 + 115 = 138，115 ÷ 23 = 5。

例 2 三个数。 甲、乙、丙三个数的和是 240，甲是乙的 2 倍，丙是乙的 3 倍。三个数各是多少？

乙最小，看作 1 份，甲 2 份，丙 3 份，共 1 + 2 + 3 = 6 份。乙 = 240 ÷ 6 = 40，甲 = 40 × 2 = 80，丙 = 40 × 3 = 120。验算：40 + 80 + 120 = 240。

例 3 倍数外还多几。 两个数的和是 100，大数比小数的 3 倍多 8。两个数各是多少？

线段图上大数画 3 段后，末尾还多出一小截 8。先把这 8 从和里去掉，剩下的正好是 4 个 1 份：(100 − 8) ÷ (3 + 1) = 23，这是小数；大数 = 23 × 3 + 8 = 77。验算：23 + 77 = 100。

变式：和藏在题目里

有的题不直接给和，要先算出来。例如长方形的周长是 48 厘米，长是宽的 3 倍，求长和宽。长与宽的和是周长的一半，48 ÷ 2 = 24 厘米，这才是和倍问题里的「和」。宽看作 1 份，长 3 份：宽 = 24 ÷ (3 + 1) = 6 厘米，长 = 6 × 3 = 18 厘米。验算：(18 + 6) × 2 = 48。

同样的思路也适用于「两筐共重多少、从一筐拿出多少后变成几倍」这类题：先弄清题目里哪个量是两数之和、哪一时刻满足倍数关系，再套用上面的公式。

常见错误：和直接除以倍数

最典型的错，是把例 1 列成 138 ÷ 5 = 27.6。这一步漏掉了小数自己的那 1 份：和里既有大数的 5 份，也有小数的 1 份，份数和是 6 不是 5。棵数算出小数，本身就是信号。

另一个常见错在例 3：没先去掉多出的 8，直接 100 ÷ 4 = 25，再把 8 加到大数上，得 25 和 83，验算 25 + 83 = 108，比和多了 8。

例 3 的两步可以合写成一行，点代码块下方的「在编辑器中打开」，把 100、3、8 换成练习题里的和、倍数和多出的数，就能排出同样格式的解答：

(100-8)\div(3+1)=23,\quad 23\times 3+8=77

整理错题本时，把例 1 的份数和那一步单独抄一行：138 ÷ (5 + 1) 里的「+ 1」就是最容易丢的那 1 份。排好的算式放在自己画的线段图旁边，一图一式对照着复习。

延伸阅读

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