差倍问题：差÷（倍数−1）的推导与例题

差倍问题是已知两个数的差，以及大数是小数的几倍，求这两个数。把小数看作 1 份，大数就是倍数那么多份，两数之差正好是（倍数 − 1）份，所以小数 = 差 ÷（倍数 − 1），大数 = 小数 × 倍数。最常见的错是直接用差除以倍数，漏掉了「减 1」。

公式是怎么推出来的

设小数为 1 份，大数是 k 倍：

• 大数 = 小数 × k；
• 大数 − 小数 = 小数 × k − 小数 = 小数 ×（k − 1）；
• 所以 小数 = 差 ÷（k − 1）。

用字母写更简洁：设小数是 x，大数就是 kx，两数之差 kx − x 提出公因数 x，就是 (k − 1)x。

这条推导只用到「大数是小数的 k 倍」这一个条件，所以 k 是整数、小数都成立，只要 k 大于 1。线段图上看得更直观：小数画 1 段，大数画 k 段；大数里有 1 段和小数一样长，把它和小数对齐之后，大数多出来的正好是 k − 1 段，这几段的总长就是题目给的差。

读题时，差常藏在「比……多」「比……少」「大几岁」「相差」这些说法里，倍数藏在「是……的几倍」里。两个条件都找到了，再确认倍数说的是大数对小数：如果题目说「小明的年龄是妈妈的五分之一」，先改写成「妈妈是小明的 5 倍」再套公式。

3 道例题

例 1 年龄。 妈妈比小明大 28 岁，妈妈的年龄是小明的 5 倍。两人各多少岁？

小明看作 1 份，妈妈 5 份，差 28 岁对应 5 − 1 = 4 份。小明：28 ÷ 4 = 7 岁；妈妈：7 × 5 = 35 岁。验算：35 − 7 = 28，35 ÷ 7 = 5。

把 k = 5、x = 7 代进前面那条字母式：5 × 7 − 7 = 4 × 7 = 28，正好是题目给的差。

例 2 倍数不是整数。 书架上层的书是下层的 2.5 倍，上层比下层多 108 本。上、下层各有多少本？

差对应 2.5 − 1 = 1.5 份。下层：108 ÷ 1.5 = 72 本；上层：72 × 2.5 = 180 本。验算：180 − 72 = 108。倍数带小数时，推导过程一步不变，只是份数不再是整数；也可以把 2.5 倍看成「下层 2 份、上层 5 份」，差是 3 份，108 ÷ 3 = 36 本是 1 小份，下层 36 × 2 = 72 本，结果相同。

例 3 倍数外还多几。 两个数相差 62，大数比小数的 4 倍多 5。两个数各是多少？

大数先去掉多出的 5，剩下正好是小数的 4 倍，这时差也要减去 5：(62 − 5) ÷ (4 − 1) = 19，这是小数；大数 = 19 × 4 + 5 = 81。验算：81 − 19 = 62。

变式：年龄问题里差不变

年龄题最适合用差倍来做，因为两个人每过一年都长一岁，年龄差永远不变。例如今年爸爸 36 岁，儿子 8 岁，几年后爸爸的年龄是儿子的 3 倍？

年龄差是 36 − 8 = 28 岁，到那一年仍是 28 岁，且那时爸爸是儿子的 3 倍，差对应 3 − 1 = 2 份。那时儿子 28 ÷ 2 = 14 岁，所以是 14 − 8 = 6 年后。验算：6 年后爸爸 42 岁，42 ÷ 14 = 3。这类题的关键是先认出「不变的是差」，再把「几年后」那一刻当成一道普通的差倍问题。

直接用差除以倍数：错对对照

把例 1 列成 28 ÷ 5 = 5.6 岁，是把差当成了 5 份。可差里没有小数自己那 1 份，只有大数比小数多出的 4 份。算出年龄是 5.6 岁，再代回去 5.6 × 5 = 28，得到的是「妈妈 28 岁」，两人就只差 22.4 岁，与题目的 28 岁对不上。

例 3 的两步算式可以在编辑器里排成一行：

(62-5)\div(4-1)=19,\quad 19\times 4+5=81

差倍题收笔前，两个条件各验一次：大数减小数等不等于差，大数除以小数等不等于倍数（有「多几」时先去掉多出的数再除）。上面这条算式点下方的「在编辑器中打开」就能改数复用，括号里那个「− 1」在预览里一眼就能看到，漏没漏一目了然。

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