正四面体体积公式推导：高与底面中心的关系
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正四面体体积公式推导的关键，是顶点在底面上的投影恰好落在底面正三角形的中心 O。设棱长为 a：底面积是 √3/4·a²，中心 O 到底面顶点的距离是 √3/3·a，由勾股定理得高 h = √6/3·a，代入锥体体积公式 V = 1/3·S·h，得到 V = √2/12·a³。下面分四步推一遍，再做两道例题，最后对照两种算错高的情形。整个推导只用到正三角形的中线长、勾股定理和锥体体积公式这三样初中、高中都学过的工具。
四步推导
设正四面体 A-BCD 的棱长为 a，A 在底面 BCD 上的投影为 O。
- 底面积。 △BCD 是边长 a 的正三角形，面积 S = √3/4·a²。
- 找投影点。 AB = AC = AD，而 AO 垂直于底面，所以 OB = OC = OD，O 是 △BCD 的外心；正三角形的外心就是中心（重心），在中线上距顶点三分之二处。中线长 √3/2·a，所以 OB = 2/3 × √3/2·a = √3/3·a。
- 求高。 在直角三角形 AOB 中，AB = a 是斜边，h² = a² − OB² = a² − a²/3 = 2a²/3，h = √6/3·a。
- 代入公式。 V = 1/3 × √3/4·a² × √6/3·a，其中 √3 × √6 = 3√2，于是 V = 3√2/36·a³ = √2/12·a³，即棱长立方的十二分之根号二倍：
图形描述：底面是正三角形 BCD，中心 O 在三条中线的交点处；从 A 向 O 作垂线 AO，就是高；连接 OB，三角形 AOB 在 O 处是直角。
两道例题
例 1 棱长为 6 的正四面体，求高和体积。
OB = √3/3 × 6 = 2√3，h = √(36 − 12) = √24 = 2√6（约 4.90）。底面积 S = √3/4 × 36 = 9√3。V = 1/3 × 9√3 × 2√6 = 6√18 = 18√2（约 25.46）。用公式直接算：√2/12 × 216 = 18√2，两种算法一致。
例 2 正四面体的体积是 9√2/4，求棱长。
由 √2/12·a³ = 9√2/4，两边同乘 12/√2，得 a³ = 27，a = 3。
还可以用正方体来核对公式：在棱长为 b 的正方体里，取互不相邻的四个顶点连成正四面体，它的棱是正方体的面对角线，a = √2·b。正方体切掉四个角上的三棱锥，每个体积 1/6·b³，剩下 b³ − 4 × 1/6·b³ = b³/3。例 1 中 a = 6，b = 3√2，b³/3 = 54√2/3 = 18√2，和上面的结果相同。
高算错的两种情形
| 做法 | 用到的量 | 算出的高（a = 6） | 体积 |
|---|---|---|---|
| 对：用中心到顶点的距离 | OB = √3/3·a = 2√3 | 2√6 ≈ 4.90 | 18√2 ≈ 25.46 |
| 错：把中线的一半当作 OB | √3/4·a ≈ 2.60 | 3√13/2 ≈ 5.41 | 9√39/2 ≈ 28.10 |
| 错：把侧面的高当作体高 | √3/2·a = 3√3 | 3√3 ≈ 5.20 | 27 |
第一种错在记混了中心的位置：中心分中线为 2 : 1，靠顶点的一段是三分之二，不是一半。第二种错在把斜的线段当成垂线：侧面三角形 ABC 的高落在侧面上，并不垂直于底面，它是直角三角形的斜边，一定比体高长。
录这组推导时，根号用 \sqrt{}，分式用 \frac{}{}，求高的那一步可以整行照抄：
h=\sqrt{a^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}a
推出高以后，正四面体的其他常用量也能顺带得到：
- 表面积：四个全等的正三角形，S 表 = 4 × √3/4·a² = √3·a²；
- 内切球半径：把正四面体从内切球心分成四个等高的小三棱锥，由体积相等得 r = 3V ÷ S 表 = √6/12·a，是高的四分之一；
- 外接球半径：R = √6/4·a，是高的四分之三，所以 R + r 正好等于高。
棱长为 6 时，r = √6/2（约 1.22），R = 3√6/2（约 3.67），两者之和 2√6 就是例 1 的高。
上面对照表的三行可以当作自查清单：算出的高如果比 √6/3·a 大，先回头看 OB 取的是哪一段。
延伸阅读
常见问题
- 正四面体外接球半径怎么求？
- 外接球的球心在高 AO 上。设半径为 R，球心到底面顶点 B 的距离也是 R，在直角三角形里有 BO 的平方加上高减 R 的平方等于 R 的平方，解得 R 等于高的四分之三，也就是 R 等于四分之根号六乘棱长。棱长为 6 时，R 等于二分之三根号六，约 3.67。