圆关于直线对称：求对称圆方程的步骤

求圆关于直线对称的圆，只需做两件事：求出圆心关于这条直线的对称点，作为新圆心；半径保持不变。对称不改变图形的大小，所以两个圆是全等的，变的只是位置。下面先给步骤，再做三道例题，其中一道是关于 y = x 对称，最后对照一种常见的错法。

三步求对称圆方程

半径为什么不变：对称是一种保持距离的变换，圆上每一点到圆心的距离是 r，对称过去后，像点到新圆心的距离仍是 r，所以新图形还是一个半径为 r 的圆。第 2 步的两个条件缺一不可：只用「中点在直线上」，满足条件的点有无数个；只用「连线垂直」，得到的是一整条垂线。

三道例题

例 1 关于 y = x 对称。 求圆 (x − 1)² + (y − 2)² = 4 关于直线 y = x 对称的圆。

点 (a, b) 关于 y = x 的对称点是 (b, a)，横纵坐标交换即可。圆心 (1, 2) 的对称点是 (2, 1)，半径仍为 2，所求圆为 (x − 2)² + (y − 1)² = 4。图示：两个半径为 2 的圆分别在 y = x 两侧，圆心 (1, 2) 与 (2, 1) 的连线被 y = x 垂直平分。

例 2 一般式的圆。 求圆 x² + y² − 4x + 6y + 9 = 0 关于直线 x + y − 1 = 0 对称的圆。

配方得 (x − 2)² + (y + 3)² = 4，圆心 (2, −3)，半径 2。设对称点为 (m, n)：

• 中点 ((2 + m)/2, (n − 3)/2) 在直线上：(2 + m)/2 + (n − 3)/2 − 1 = 0，化简得 m + n = 3；
• 连线与直线垂直：直线斜率为 −1，所以 (n + 3)/(m − 2) = 1，化简得 m − n = 5。

解得 m = 4，n = −1，所求圆为 (x − 4)² + (y + 1)² = 4。核对：中点 (3, −2) 满足 3 − 2 − 1 = 0。

例 3 斜率不是 ±1 的直线。 求圆 (x − 1)² + y² = 9 关于直线 2x − y + 3 = 0 对称的圆。

圆心 (1, 0)，半径 3。设对称点为 (m, n)，中点在直线上得 2m − n = −8；直线斜率为 2，连线斜率 n/(m − 1) = −1/2，得 m = 1 − 2n。代入解得 n = 2，m = −3，所求圆为 (x + 3)² + (y − 2)² = 9。核对：中点 (−1, 1) 满足 −2 − 1 + 3 = 0，连线斜率 (2 − 0)/(−3 − 1) = −1/2，与 2 相乘得 −1。

错对对照：把任意直线都当成 y = x

例 2 常见的错法是看到「x + y」就直接交换坐标，把圆心 (2, −3) 写成 (−3, 2)，得到 (x + 3)² + (y − 2)² = 4。核对一下就能发现问题：(2, −3) 与 (−3, 2) 的中点是 (−1/2, −1/2)，代入 x + y − 1 得 −2，不在直线上。

交换坐标只对 y = x 成立。对直线 x + y − 1 = 0，对应的做法是把 x 换成 1 − y、把 y 换成 1 − x：(2, −3) 变成 (1 − (−3), 1 − 2) = (4, −1)，与例 2 的结果一致。这个替换只适用于斜率为 ±1 的直线，例 3 那样的直线还是要列方程组。

在编辑器里写例 3 的方程组，用 cases 环境把两个条件竖着排，两行之间写 \\：

\begin{cases}2m-n=-8\\ \dfrac{n}{m-1}=-\dfrac{1}{2}\end{cases}

除了把直线当成 y = x，还有两种错法也常见：一是配方时把常数项算错，例 2 若把 x² + y² − 4x + 6y + 9 = 0 配成半径 3，结果整体偏大；二是把连线斜率与直线斜率的关系写成「相等」，这时连线与直线平行，中点不可能落在直线上，方程组无解（例 2 会得到 m + n = 3 与 m + n = −1 两个矛盾的式子）。

三道例题都可以用同一条检验收尾：新旧圆心的中点代入直线方程应为零，半径两边相同。

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