点到直线的距离公式：先化一般式再代入

点到直线的距离公式是 d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)，前提是直线已经写成一般式 Ax + By + C = 0。题目给的是斜截式、点斜式或截距式时，先移项化成一般式，读出 A、B、C，再把点的坐标代进分子。两条平行线之间的距离 d = |C₁ − C₂| / √(A² + B²) 还多一个前提：两条直线的 A、B 要先化成相同的数。下面点到直线、两平行线各 2 道例题。

公式与使用前提

分子里的 Ax₀ + By₀ + C，就是把点的坐标代进直线方程左边得到的值；点在直线上时它等于 0，距离也是 0。分母只和直线的法向量 (A, B) 有关，与点的位置无关。分子一定要加绝对值，距离不会是负数。A、B 不能同时为 0，否则方程不表示直线；A = 0 或 B = 0 时直线平行于坐标轴，距离也可以直接看坐标差，比如点 (2, 5) 到直线 y = 1 的距离就是 5 − 1 = 4。

一般式怎么来，下面三种常见写法各举一例：

化的时候把所有项移到等号左边，右边只留 0；有分数就两边同乘分母，把系数化成整数，算起来不容易错。

两个公式放在一起，方便复制：

d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\qquad d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}

点到直线：两道

例 1 求点 P(2, −1) 到直线 3x + 4y − 7 = 0 的距离。直线已经是一般式，A = 3，B = 4，C = −7。分子 |3 × 2 + 4 × (−1) − 7| = |−5| = 5，分母 √(9 + 16) = 5，所以 d = 1。垂足是 H(2.6, −0.2)，PH 的长度正好是 1。垂足可以这样求：过 P 作直线的垂线，方向向量就是 (3, 4)，设 H = (2 + 3t, −1 + 4t)，代入直线方程得 25t − 5 = 0，t = 0.2。有了垂足，用两点间距离公式再算一遍 PH，也是 1，可以当作核对。

例 2 求点 P(1, 2) 到直线 y = 2x + 3 的距离。先化一般式：2x − y + 3 = 0，A = 2，B = −1，C = 3。分子 |2 × 1 − 2 + 3| = 3，分母 √(4 + 1) = √5，所以 d = 3/√5 = 3√5/5。B 是 −1 不是 1，平方后虽然一样，但代分子时符号错了结果就会变。

两平行线：两道

例 3 求直线 3x − 4y + 1 = 0 与 3x − 4y − 9 = 0 之间的距离。两条直线的 A、B 已经相同，C₁ = 1，C₂ = −9，d = |1 − (−9)| / √(9 + 16) = 10/5 = 2。

例 4 求直线 x + 2y − 3 = 0 与 2x + 4y + 1 = 0 之间的距离。两条直线平行，但系数没有统一：第一条两边乘 2，化成 2x + 4y − 6 = 0，这时 C₁ = −6，C₂ = 1，d = |−6 − 1| / √(4 + 16) = 7/√20 = 7√5/10。核对：在第一条直线上取点 (3, 0)，它到第二条直线的距离是 |2 × 3 + 0 + 1| / √20 = 7/√20，一致。

平行线系数未统一：错在哪

例 4 如果直接拿 −3 和 1 相减，再除以第一条直线的 √5，会得到 4/√5 = 4√5/5，比正确答案 7√5/10 大。原因是 x + 2y − 3 = 0 与 2x + 4y + 1 = 0 的 C 不在同一个「尺度」上：第二条的系数整体放大了 2 倍，常数项也跟着放大了。

另外两处常见错误：

1. 直线没化成一般式就读 A、B、C。例 2 如果从 y = 2x + 3 里直接读出「C = 3，B = 1」，分子就错了。
2. 分母漏开方。√(A² + B²) 写成 A² + B²，例 1 会算出 1/5。

在编辑器里写距离公式，绝对值竖线直接输入 |，根号用 \sqrt{}，下标写成 x_0；分式模板在符号面板「常用」页签，写完分子按 ↓ 进分母。

动手前先看一眼两条直线的 x、y 系数是否相同，这一步只需要几秒；例 4 的错误几乎都出在跳过了它。

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