对数函数图像及性质：底数大于1与小于1对照
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对数函数图像及性质按底数分两种：y = logₐx 在 a > 1 时是一条从 y 轴右侧低处出发、向右缓慢上升的曲线，在定义域上单调递增；在 0 < a < 1 时正好上下翻过来，向右下降、单调递减。两种情况有三点完全相同：定义域都是 (0, +∞)，值域都是全体实数，图像都过定点 (1, 0)。比较两个对数的大小时，先看底数定增减，再看真数谁大，底数不同就找 0 或 1 当中间量。
这一节在人教 A 版（2019）必修第一册第四章「指数函数与对数函数」。下面先给对照表，再用三道比较大小的例题把「看底数、看真数、找中间量」三件事各练一次。
底数大于 1 与小于 1 的对照表
| 性质 | a > 1（如 y = log₂x） | 0 < a < 1（如 y = log₀.₅x） |
|---|---|---|
| 定义域 | (0, +∞) | (0, +∞) |
| 值域 | 全体实数 | 全体实数 |
| 定点 | (1, 0) | (1, 0) |
| 单调性 | 在 (0, +∞) 上递增 | 在 (0, +∞) 上递减 |
| x > 1 时 | y > 0 | y < 0 |
| 0 < x < 1 时 | y < 0 | y > 0 |
| 图像走向 | 左下贴近 y 轴，向右缓慢上升 | 左上贴近 y 轴，向右缓慢下降 |
两条曲线的文字描述：a > 1 时，曲线在 y 轴右边从很低的地方出发，越靠近 y 轴越往下，但永远碰不到 y 轴；经过 (1, 0) 后继续上升，越往右越平缓，例如 log₂x 在 x = 2、4、8 处的值是 1、2、3。0 < a < 1 时，把上面这条曲线沿 x 轴翻折即可，log₀.₅x 在 x = 2、4、8 处的值是 −1、−2、−3。
表里所有性质都来自定义式里的两条限制：底数 a 必须是正数且不等于 1，真数 x 必须是正数。底数等于 1 时 1 的任何次幂都是 1，无法表示其它数，所以被排除。
y=\log_a x\quad(a>0,\ a\neq1)
底数 a 与 1/a 的两条对数曲线关于 x 轴对称；同一个底数的对数函数与指数函数关于直线 y = x 对称，这两个对称关系在选择题里常用来排除选项。下表把两条曲线上几个点的函数值并排列出，描点就能画出大致形状。
描点时横坐标取 2 的整数次幂最省事：x = 1/8、1/4、1/2、1、2、4、8 对应 log₂x = −3、−2、−1、0、1、2、3，全是整数。标到坐标纸上会看到，左边三个点挤在 0 与 1 之间，纵坐标却一路降到 −3；右边三个点横向拉开到 8，纵坐标只升到 3。连起来就是「贴着 y 轴下探、向右越来越平」的形状，log₀.₅x 的七个点正好是它们关于 x 轴的对称点。连线时两件事别做错：曲线不能碰到 y 轴，x ≤ 0 的一侧什么都不画。
把上表的点描出来再连线，就是下面这张图像示意（刻度是单位长度，空心圆取自描点表）。两条曲线都从 y 轴右侧出发、都经过定点 (1, 0)，log₂x 向右上升，log₀.₅x 向右下降，彼此关于 x 轴对称：
三道比较大小的例题
例 1 同底数：比较 log₃5 与 log₃7。
- 底数 3 > 1，函数 y = log₃x 在 (0, +∞) 上递增。
- 真数 5 < 7。
- 所以 log₃5 < log₃7。
例 2 同底数且底数小于 1：比较 log₀.₅2 与 log₀.₅3。
- 底数 0.5 在 0 和 1 之间，函数递减。
- 真数 2 < 3，递减函数自变量越大函数值越小。
- 所以 log₀.₅2 > log₀.₅3。可以用具体值核对：log₀.₅2 = −1，而 log₀.₅3 在 −1 与 −2 之间（因为 2 < 3 < 4）。
例 3 底数、真数都不同：比较 log₂3 与 log₃2。
- 两个底数不同，没法直接用单调性，找中间量 1。
- log₂3 > log₂2 = 1，因为底数 2 > 1、真数 3 > 2。
- log₃2 < log₃3 = 1，因为底数 3 > 1、真数 2 < 3。
- 所以 log₂3 > 1 > log₃2。
中间量怎么选：两个数一个比 1 大、一个比 1 小，就用 1；一个正一个负，就用 0。判断正负只要看上表的「x > 1 时」「0 < x < 1 时」两行。
三个常见错误
忘了定义域。 求 y = log₂(x − 1) 的定义域要让真数大于 0，得 x > 1；只写「x ≠ 1」或把真数当成可以等于 0，都会错。
底数小于 1 时单调性记反。 例 2 最容易写成「3 比 2 大所以 log₀.₅3 更大」，做题前先在草稿上写一句「底数小于 1，递减」。
比较不同底数时硬算近似值。 考场上没有计算器，例 3 这类题用中间量一步就能定，比估算对数值稳妥。
对数函数只是六类基本函数之一，一次、二次、反比例、指数、三次函数的形状对照见高中数学函数图像。
本站编辑器只排公式、不作图，上面的图像是按描点表画的示意，考试时仍要照描点表在坐标纸上列表、描点、连线。把例 3 的推理链录进公式编辑区：在「LaTeX」模式里写 \log_2 3>\log_2 2=1>\log_3 2，切回「可视化」模式检查下标是否落在 log 右下角，再从顶栏「导出」选「Word（含公式）」放进复习笔记；导出需要登录并开通本站会员。
延伸阅读
常见问题
- 对数函数和指数函数图像什么关系？
- 同底数的对数函数和指数函数互为反函数，它们的图像关于直线 y 等于 x 对称。指数函数图像过点零一、整条曲线在 x 轴上方；把它沿 y 等于 x 翻折，就得到过点一零、整条曲线在 y 轴右侧的对数函数图像。两者的单调性相同：底数大于一时都递增，底数在零和一之间时都递减。