高中数学函数图像：6类基本函数的形状与性质对照
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高中数学函数图像的基础是六类：一次函数是直线，二次函数是抛物线，反比例函数是分在两个象限里的双曲线，指数函数是过点 (0, 1)、整条落在 x 轴上方的曲线，对数函数是过点 (1, 0)、整条落在 y 轴右侧的曲线，三次函数 y = x³ 是过原点的 S 形曲线。
这六类在国内教材里分散在两个学段：一次、二次、反比例函数在初中学过，高中人教 A 版（2019）必修第一册第二章「一元二次函数、方程和不等式」复习二次函数，第三章介绍幂函数 y = x³，第四章讲指数函数与对数函数。
六类函数对照表
| 函数 | 一般式 | 图像形状 | 定义域 | 单调性 |
|---|---|---|---|---|
| 一次函数 | y = kx + b（k ≠ 0） | 直线 | 全体实数 | k > 0 递增；k < 0 递减 |
| 二次函数 | y = ax² + bx + c（a ≠ 0） | 抛物线，对称轴 x = −b/(2a) | 全体实数 | a > 0 时对称轴左减右增；a < 0 时左增右减 |
| 反比例函数 | y = k/x（k ≠ 0） | 双曲线的两支 | x ≠ 0 | k > 0 时在两个区间上分别递减；k < 0 时分别递增 |
| 指数函数 | y = aˣ（a > 0，a ≠ 1） | 过 (0, 1)，在 x 轴上方 | 全体实数 | a > 1 递增；0 < a < 1 递减 |
| 对数函数 | y = logₐx（a > 0，a ≠ 1） | 过 (1, 0)，在 y 轴右侧 | (0, +∞) | a > 1 递增；0 < a < 1 递减 |
| 三次函数 | y = x³ | 过原点的 S 形，关于原点对称 | 全体实数 | 在全体实数上递增 |
表里最容易被忽略的是反比例函数那一格：它在 (−∞, 0) 和 (0, +∞) 上分别递减，不能说成「在定义域上递减」，因为 x = −1 时 y = −k，x = 1 时 y = k，自变量变大函数值反而变大。
六类图像的文字描述
一次函数。 一条斜线。|k| 越大越陡，b 是它与 y 轴交点的纵坐标。k > 0 时从左下到右上，k < 0 时从左上到右下。
二次函数。 一条左右对称的抛物线，顶点在对称轴上。a > 0 开口向上、顶点是最低点；a < 0 开口向下、顶点是最高点。|a| 越大开口越窄。
反比例函数。 两支互不相连的曲线，分别无限贴近 x 轴和 y 轴。k > 0 时两支在第一、三象限，k < 0 时在第二、四象限，整体关于原点对称。
指数函数。 一条经过 (0, 1) 的曲线，始终在 x 轴上方。a > 1 时左边贴着 x 轴、右边迅速上升；0 < a < 1 时方向相反。
对数函数。 一条经过 (1, 0) 的曲线，始终在 y 轴右侧，靠近 y 轴时无限下探（a > 1）或无限上升（0 < a < 1）。它与同底数的指数函数关于直线 y = x 对称，两种底数的细节见对数函数图像及性质。
三次函数。 y = x³ 过 (−1, −1)、(0, 0)、(1, 1)，在原点附近比较平，离开原点后上升得越来越快。一般的三次函数不一定单调，例如 y = x³ − 3x 在 x = −1 处取得极大值 2、在 x = 1 处取得极小值 −2，这要到选择性必修学导数时才能完整画出。
下面两张函数图像示意按一般式描点画出，空心圆都是整数点。第一张是直线、抛物线和 y = x³：
第二张是反比例、指数、对数，另画 y = x 作参照，对称关系是看图选式时常用的排除依据：
y = 2ˣ 上的 (0, 1)、(1, 2) 沿 y = x 翻过去，正好是 y = log₂x 上的 (1, 0)、(2, 1)；y = 6/x 上的 (2, 3) 与 (−2, −3) 关于原点对称。
描点表：用整数点核对六条曲线
课本画图用「列表、描点、连线」三步。下表取 x = −2、−1、0、1、2、4，每个值都能代回一般式验算，「—」表示该点不在定义域内。
| 函数 | x=−2 | x=−1 | x=0 | x=1 | x=2 | x=4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y = 2x + 1 | −3 | −1 | 1 | 3 | 5 | 9 |
| y = x² − 4x + 3 | 15 | 8 | 3 | 0 | −1 | 3 |
| y = 6/x | −3 | −6 | — | 6 | 3 | 1.5 |
| y = 2ˣ | 1/4 | 1/2 | 1 | 2 | 4 | 16 |
| y = log₂x | — | — | — | 0 | 1 | 2 |
| y = x³ | −8 | −1 | 0 | 1 | 8 | 64 |
连线前对着表看三处：二次函数在 x = 0 与 x = 4 的值都是 3，关于对称轴 x = 2 对称；y = 6/x 与 y = log₂x 在 x = 0 处没有值；从 x = 2 到 x = 4，2ˣ 由 4 涨到 16，log₂x 只从 1 涨到 2。
三道例题：从式子读出图像
例 1 二次函数 y = x² − 4x + 3。
- a = 1 > 0，开口向上。
- 对称轴 x = −(−4)/(2 × 1) = 2，顶点纵坐标 2² − 4 × 2 + 3 = −1，顶点 (2, −1)。
- 因式分解得 (x − 1)(x − 3)，与 x 轴交于 (1, 0)、(3, 0)；令 x = 0 得与 y 轴交于 (0, 3)。
- x ≤ 2 时递减，x ≥ 2 时递增。配方写成：
y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1
例 2 反比例函数 y = 6/x。 k = 6 > 0，图像在第一、三象限。描点 (1, 6)、(2, 3)、(3, 2)、(6, 1) 连成第一象限那一支，取它们关于原点的对称点连成另一支。
例 3 指数函数 y = (1/2)ˣ。 底数 1/2 < 1，递减；过 (0, 1)；x = −2 时 y = 4，x = 2 时 y = 1/4。它是 y = 2ˣ 沿 y 轴翻折得到的。
三个常见错误
- 把反比例函数说成「在定义域上递减」，反例见对照表下方。
- 对数函数漏掉定义域：y = log₂(x + 3) 要求 x > −3，图像只画在 x = −3 右边。
- 二次函数对称轴的符号写反：x = −b/(2a) 里的负号经常漏掉，例 1 的 b = −4，对称轴是 x = 2 而不是 −2。
例 1 的配方式可在「LaTeX」模式里写成 (x-2)^2-1，切回「可视化」模式核对后从顶栏「导出」选「Word（含公式）」，它只导出当前这一条；几条公式一起进讲义，要在「文档编辑」里逐条插入后导出「Word 文档 (.docx)」，导出需要登录并开通本站会员。公式做成图片的办法见数学公式图片。
延伸阅读
常见问题
- 函数图像题先看哪几个特征？
- 按顺序看五样：定义域决定图像画在哪一段；特殊点，包括与两条坐标轴的交点和指数、对数函数的定点；单调性，也就是从左往右是升还是降；对称性，看是否关于原点或 y 轴对称；最后看自变量趋向定义域边界时图像贴近哪条线。选择题用这五样逐条排除，通常两三条就能定下答案。