对数怎么算：换底公式与常用对数手算示例

对数怎么算，核心是把它翻回指数：logₐ N = b 的意思就是 a 的 b 次方等于 N。真数正好是底数的整数次幂时，直接数指数；其余情况用换底公式化成以 10 为底的常用对数（记作 lg），再用 lg2、lg3、lg7 这几个值拼出结果。下面给定义与运算法则的速查表，再做几道能验算的手算例题。

定义与运算法则速查

对数 logₐ N 要求底数 a > 0 且 a ≠ 1，真数 N > 0。四条运算法则是手算的全部工具：

前三条把乘、除、乘方降一级，变成加、减、乘；换底公式负责把任意底数统一成 10，方便代入常用对数的近似值。log₂10 按换底公式等于 1 ÷ 0.3010，约为 3.322。

另有两个特殊值随时要用：logₐ 1 = 0，logₐ a = 1。还有一条由定义直接得到的恒等式：a 的 logₐ N 次方等于 N，比如 2 的 log₂5 次方就是 5。手算时先看真数能不能写成底数的整数次幂，能就直接数指数，不能再拆成积、商、幂，最后才用换底公式。

要背的三个常用对数

1 到 9 的常用对数里，只要记住 lg2 ≈ 0.3010、lg3 ≈ 0.4771、lg7 ≈ 0.8451，其余都能推出来：lg4 = 2lg2，lg5 = 1 − lg2，lg6 = lg2 + lg3，lg8 = 3lg2，lg9 = 2lg3。

推出来的值和查表值有时差最后一位。比如 lg6 用 0.3010 + 0.4771 得 0.7781，四位对数表上是 0.7782，原因是两个近似值各自四舍五入过。考试按题目给的近似值算即可。

手算例题

例 1：真数是底数的整数次幂。 log₃81：3⁴ = 81，所以结果是 4。log₂(1/8)：2⁻³ = 1/8，结果是 −3。

例 2：底数和真数是同一个数的幂。 log₈32：8 = 2³，32 = 2⁵，用换底公式化成以 2 为底，得 5 ÷ 3 = 5/3。验算：8 的 5/3 次方，先开立方得 2，再五次方得 32。

例 3：拆成已知对数。 lg72：72 = 2³ × 3²，所以 lg72 = 3lg2 + 2lg3 ≈ 0.9030 + 0.9542 = 1.8572。

例 4：小于 1 的真数。 lg0.03 = lg3 + lg10⁻² ≈ 0.4771 − 2 = −1.5229。真数在 0 和 1 之间，常用对数就是负数。

例 5：换底到常用对数。 log₃7 = lg7 ÷ lg3 = 0.8451 ÷ 0.4771 ≈ 1.771。验算方向：3¹ = 3，3² = 9，7 在两者之间，结果应在 1 和 2 之间，对得上。

自然对数 ln 也能这样换：ln x = lg x ÷ lg e，其中 lg e ≈ 0.4343。

四个常见错误

1. 把 lg(M + N) 拆成 lgM + lgN。 积的对数才能拆成和，和的对数没有拆法。
2. 换底公式分子分母放反。 真数在分子、底数在分母，记成「上真下底」。
3. 忘了真数为正。 lg(−3) 在实数范围内无意义，解方程后要回代检查。
4. 把 lg2 的近似值当精确值。 0.3010 是近似值，结果用约等号，末位可能差 1。

把推导排进作业

本站编辑器只负责排版，数值要自己推。对数的底数用下标输入，比如 \log_{3}7；常用对数写 \lg，自然对数写 \ln，输入命令时符号随打随显，按空格结束命令。例 3 的整条推导如下：

\lg72=\lg\left(2^{3}\times3^{2}\right)=3\lg2+2\lg3\approx0.9030+0.9542=1.8572

点代码块下方的「在编辑器中打开」，这一行就会载入编辑器；换底那一步写成分式时，在可视化模式下按 / 出分数线（LaTeX 模式里写 \frac）。编辑和预览免费且不用登录，导出进 Word 要登录并开通本站会员。如果在别的软件里改对数公式时遇到问题，可以看 Word公式对象编辑 那篇的三项检查。

现在能做的一件事：挑一个课本上的对数题，照例 3 的格式把「分解真数 → 用法则拆开 → 代入近似值」写成一行，写完用指数反推验算。

延伸阅读

• Word公式对象编辑：把对数推导放进 Word 后，编辑公式对象前先查三项
• 网页公式复制乱码：从网页复制 log 公式出现乱码时，先确认内容是什么形态
• 公式与教程索引：按学段整理的公式教程
• 常用对数怎么求：lg的查表方法与运算性质